有意思（22）流行资料上的一个错题的认识深化

战地黄花

某流行资料上有一个错题，“已知φ′（x）+ φ（x）>0，试确定φ（x）sin x在（0，π/2）的苻号”。

学生问这个题的时候，匆忙中感到要用指数函数做积分因子来处理。后来作定向思维，心里总觉得怪怪的，这题为啥没有初始信息。

左想右想不得解，随手翻翻解答，竟然写了半页。心存疑惑也没细看。

φ′（x）+ φ（x）> 0表达了增长率与函数值的符号关系。

就算增长率恒为正，函数值也可正可负，φ（x）sin x怎么能定号呢？

单调性讨论连续函数的符号，导数定号配合初始信息或终端信息，缺一不可。就算增长率很大，比如中国经济年增长率10%，美国2%，但两者初始经济量差别很大，你不能说中国经济量就大于美国经济量。

由于指数函数exp（x）恒正，故若 φ′（x）+ φ（x）> 0    则

exp（x）（φ′（x）+ φ（x））> 0  ， 即 （φ（x）exp（x））′ > 0

如果有初始信息φ（0）≥ 0 ，则有  φ（x）> 0，从而φ（x）sin x在（0，π/2）为正。

如果φ（0）< 0呢？是否可能有φ（0）< 0，我又想到了指数函数exp（x）

假如取 φ（x）= —exp（—2x），则φ′（x）= 2exp（—2x），且 φ′（x）+ φ（x）> 0

这时就有，φ（x）< 0 ，从而φ（x）sin x在（0，π/2）为负。

再去翻资料上的解答，一下就看到了错处。

liuxin1426

每日一顶！

范凡奇

动手算了算，思路和老师基本一样。我是从结果假定符号是正、负，分别举例子，向已知式子推算。但不是用指数函数，而是二次函数来算，想着简单。还是漏掉了可以已知为正，答案为负的第二种情况。这次记住了…谢谢啦！{:soso_e189:}