2011年考研数学一真题k*arctan x-x不同根的个数疑问

kongqinggong

我也是这么做的！答案让我很纠结…高手们解答一下！

callme9527

注意函数的定义域，当K=1时，无解，因为X不能等于0.你这样化等于缩小了原函数的定义域，用函数单调性和奇函数的性质，很好求的，令fx=karctanx-x，其导数=(k-1-x.x)/1+x.x，当k大于1时，导数等于零有两根，X1和X2,且X1小于X2，在（0  X2）fx递增，在(X2   正无穷）FX递减，fo=0，所以fx2大于0，所以在(X2   无穷）存在x3使fx3=0，同理因为函数为奇函数，（负无穷 x1)存在x4使fx4=0，所以有x4    x3  和 0三个根，楼主变换函数时注意区分函数的定义域，

wcgwcg000

可以，步骤如下：1.x=0是它的解；2.F(x)=karctanx-x是奇函数，零点关于原点对称，只讨论x>0的情况；
3.做变换k=x/arctanx(x>0),考虑G(x)=x-arctanx,x>0;补充定义G(0)=0;可知G(x)在零点连续
4.G'(x)=x^2/(1+x^2)>0在x>0严格单增函数,且G(x)>G(0)=0；即x/arctanx>1，且x->+无穷时x/arctanx->+无穷


5.显然，由x/arctanx的连续性，有：(i) 当k>1时，存在x>0,使得x/arctanx=k，即在x>0上F(x)有且只有一个零点; (ii)当k<=1时，无解
6.综上所述，由对称性知：当k>1时，有三个零点；当k<=1时，只有一个零点x=0

a11a2233

可以把式子化为k=x/arctanx吗？
f(x)=x/arctanx>=1。则k>=1;
当k<1时无根。当k=1时有一个根。k>1时怎么求出只有两个根？？？？
我哪里错了