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东南大学2001年数学分析.doc
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东南大学2000年数学分析.pdf
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东南大学1998年数学分析考研试题.pdf
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2007年数学分析.doc
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-2004年东南大学高等代数考研试题.pdf
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2002年东南大学高等代数考研试题.pdf
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东南大学二00三年攻读硕士学位研究生入学考试试卷 课程编号：433 课程名称：高等代数 一、填空题（每小题6分，共30分） 1、设 均为四维列向量，且四阶行列式 。则四阶行列式 。 2、已知 ，设 ，其中 表示 的转置，则 。 3、设矩阵 的行列式因子为 ，则 的初等因子为 ， 的若当标准形为 。 4、设 是数域 上全体次数 的多项式与零多项式组成的线性空间，且 是 的一组基，则 在这组基下的坐标（写成行向量形式）为 。 5、 的最大公因式 为 。 二、选择题（每小题6分，共30分） 1、设向量组 线性无关，向量 可由 线性表示，而向量 不能由 线性表示，则对于任意常数 ，必有（ ） （A） 线性无关 （B） 线性相关 （C） 线性无关 （D） 线性相关 2、设 是 矩阵， 是 矩阵，则（ ） （A）当 时， （B）当 时， （C）当 时， （D）当 时， 3、设 阶矩阵 可逆， 为 的伴随矩阵，则（ ） （A） （B） （C） （D） 4、设 ， 为三阶非零矩阵，且满足 ，则（ ） （A）当 时， 的秩必为1 （B）当 时， 的秩必为2 （C）当 时， 的秩必为1 （D）当 时， 的秩必为2 5、已知 是非齐次线性方程组 的两个不同的解， 是 的基础解系， 为任意常数，则方程组 的通解（一般解）必是（ ） （A） （B） （C） （D） 三、（20分）设多项式 是整系数多项式， 是素数，若 ，但 不能整除 ， 不能整除 ，求证 是有理数域上不可约多项式。 四、（12分）设有 元实二次型 ， 其中 为实数，试问：当 满足何种条件时，二次型 为正定二次型。 五、（18分）设 是数域 上的一个 维线性空间， 是 的一组基，用 表示由 生成的子空间，令 。 （1）证明： 是 的子空间。 （2）证明： 。 （3）设 上线性变换 在基 下的矩阵是置换矩阵（即：的每一行与每一列都只有一个元素为1，其余元素全为0），证明 与 都是 的不变子空间。 六、（15分）设 是 维线性空间 上的可逆线性变换， （1）试证 的逆变换 可表示成 的多项式。 （2）如令 为 的特征多项式，试证当多项式 与 互素时， 是可逆线性变换。 七、（15分）设 是 维线性空间 中两个向量组，满足 ，这里 表示内积，试证：存在正交变换 ，使 。 八、（10分）设 都是 阶非零矩阵，满足 。证明：每个 都相似于对角矩阵 。 本人有01年至11年高等代数及数学分析原版纸质试题试题，大纲解析和部分参考答案，换少量银子而已，网上上传的仅为搜罗的电子版，仅供参考，若有遗漏及谬误地方，尚请见谅，站内发信联系
东南大学二00三年攻读硕士学位研究生入学考试试卷
课程编号：433 课程名称：高等代数 一、填空题（每小题6分，共30分） 1、设 均为四维列向量，且四阶行列式 。则四阶行列式 。 2、已知 ，设 ，其中 表示 的转置，则 。 3、设矩阵 的行列式因子为 ，则 的初等因子为 ， 的若当标准形为 。 4、设 是数域 上全体次数 的多项式与零多项式组成的线性空间，且 是 的一组基，则 在这组基下的坐标（写成行向量形式）为 。 5、 的最大公因式 为 。 二、选择题（每小题6分，共30分） 1、设向量组 线性无关，向量 可由 线性表示，而向量 不能由 线性表示，则对于任意常数 ，必有（ ） （A） 线性无关 （B） 线性相关 （C） 线性无关 （D） 线性相关 2、设 是 矩阵， 是 矩阵，则（ ） （A）当 时， （B）当 时， （C）当 时， （D）当 时， 3、设 阶矩阵 可逆， 为 的伴随矩阵，则（ ） （A） （B） （C） （D） 4、设 ， 为三阶非零矩阵，且满足 ，则（ ） （A）当 时， 的秩必为1 （B）当 时， 的秩必为2 （C）当 时， 的秩必为1 （D）当 时， 的秩必为2 5、已知 是非齐次线性方程组 的两个不同的解， 是 的基础解系， 为任意常数，则方程组 的通解（一般解）必是（ ） （A） （B） （C） （D） 三、（20分）设多项式 是整系数多项式， 是素数，若 ，但 不能整除 ， 不能整除 ，求证 是有理数域上不可约多项式。 四、（12分）设有 元实二次型 ， 其中 为实数，试问：当 满足何种条件时，二次型 为正定二次型。 五、（18分）设 是数域 上的一个 维线性空间， 是 的一组基，用 表示由 生成的子空间，令 。 （1）证明： 是 的子空间。 （2）证明： 。 （3）设 上线性变换 在基 下的矩阵是置换矩阵（即：的每一行与每一列都只有一个元素为1，其余元素全为0），证明 与 都是 的不变子空间。 六、（15分）设 是 维线性空间 上的可逆线性变换， （1）试证 的逆变换 可表示成 的多项式。 （2）如令 为 的特征多项式，试证当多项式 与 互素时， 是可逆线性变换。 七、（15分）设 是 维线性空间 中两个向量组，满足 ，这里 表示内积，试证：存在正交变换 ，使 。 八、（10分）设 都是 阶非零矩阵，满足 。证明：每个 都相似于对角矩阵 。
东南大学二00二年攻读硕士学位研究生入学考试试卷 课程编号：433 课程名称：高等代数 一、以下结论是否成立，如成立，试证明。否则举实例。（每题4分，共24分） 1、若 为 的 重根，则 为 的 重根。这里 表示多项式 的微商（或导数）。 2、设 为 阵， 为 阵，且 则 。 3、若 均为 阶实对称阵，具有相同的特征多项式，则 与 相似。 4、设 线性无关，则 秩为 。 5、设 均为线性空间 的子空间，满足 ，则 。 6、设 为 阶正定矩阵，则一定存在正定阵 ，使 。 二、（10分）以知线性方程组 ，其中， ， ， ，求 使方程组有解，并求有解时的通解。 三、（10分）已知 是 阶实对矩阵， 是 的特征阵，相对应的标准正交特征向量为 。求证： 。这里“ ”表示转置。 四、（12分）设线性变换 在线性空间 的基 下矩阵为 1、求值域 ，核 的基。 2、问 吗？为什么？ 五、（12分）设 如果 。求证： 。（这里 为 的代数余子式） 六、（12分）设 为 阶矩阵，试证： 的充要条件为 。（这里 为 阶单位阵， 表示 的秩） 七、（10分）设 为 阶矩阵，且存在正整数 ，使 ，又 的秩为 ，分别求 与 的若当（ 标准形。 八、（12分）证明，若 与 互素，并且 次数都大于零，那么可以选取 使 且有 ，并且这样的 是惟一的。这里 表示 的次
东南大学二00三年攻读硕士学位研究生入学考试试卷
课程编号：433 课程名称：高等代数
一、填空题（每小题6分，共30分）
1、设 均为四维列向量，且四阶行列式 。则四阶行列式 。
2、已知 ，设 ，其中 表示 的转置，则 。
3、设矩阵 的行列式因子为 ，则 的初等因子为 ， 的若当标准形为 。
4、设 是数域 上全体次数 的多项式与零多项式组成的线性空间，且 是 的一组基，则 在这组基下的坐标（写成行向量形式）为 。
5、 的最大公因式 为 。
二、选择题（每小题6分，共30分）
1、设向量组 线性无关，向量 可由 线性表示，而向量 不能由 线性表示，则对于任意常数 ，必有（ ）
（A） 线性无关 （B） 线性相关
（C） 线性无关 （D） 线性相关
2、设 是 矩阵， 是 矩阵，则（ ）
（A）当 时， （B）当 时，
（C）当 时， （D）当 时，
3、设 阶矩阵 可逆， 为 的伴随矩阵，则（ ）
（A） （B）
（C） （D）
4、设 ， 为三阶非零矩阵，且满足 ，则（ ）
（A）当 时， 的秩必为1 （B）当 时， 的秩必为2
（C）当 时， 的秩必为1 （D）当 时， 的秩必为2
5、已知 是非齐次线性方程组 的两个不同的解， 是 的基础解系， 为任意常数，则方程组 的通解（一般解）必是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
三、（20分）设多项式 是整系数多项式， 是素数，若
，但 不能整除 ， 不能整除 ，求证 是有理数域上不可约多项式。
四、（12分）设有 元实二次型 ，
其中 为实数，试问：当 满足何种条件时，二次型 为正定二次型。
五、（18分）设 是数域 上的一个 维线性空间， 是 的一组基，用 表示由 生成的子空间，令 。
（1）证明： 是 的子空间。 （2）证明： 。
（3）设 上线性变换 在基 下的矩阵是置换矩阵（即：的每一行与每一列都只有一个元素为1，其余元素全为0），证明 与 都是 的不变子空间。
六、（15分）设 是 维线性空间 上的可逆线性变换，
（1）试证 的逆变换 可表示成 的多项式。
（2）如令 为 的特征多项式，试证当多项式 与 互素时， 是可逆线性变换。
七、（15分）设 是 维线性空间 中两个向量组，满足 ，这里 表示内积，试证：存在正交变换 ，使 。
八、（10分）设 都是 阶非零矩阵，满足 。证明：每个 都相似于对角矩阵 。
东南大学二00四年攻读硕士学位研究生入学考试试卷
课程编号：433 课程名称：高等代数
一、（18分）已知齐次线性方程组
其中 ，试讨论 和 满足何种条件时，
（1）方程组仅有零解； （2）方程组有非零解，此时，用基础解系表出所有解。
二、（17分）设实二次型 .
（1）求正交变换 把 化成标准形。
（2）问 为何值时， 的秩为2？此时，求 的解。
三、（15分）设 为互不相同的整数， 。
（1）求证 有理数域 上不可约。
（2）对于整数 ，问 在有理数域 上是否可约，为什么？
四、（15分）设 为数域上线性空间 上的线性变换，多项式 互素，且满足 。求证： 且 为 的不变子空间，这里 ），其中 表示 的核。
五、（10分）设 为欧式空间 的标准正交基， ，求正交变换 ，使 。
六、（10分）设 为 阶方阵，求证存在正整数 ，使 ，并证存在 阶矩阵 ，使 。
七、（15分）设 均为非零 维列向量，记 。
（1）求 的最小多项式。 （2）求 的若当标准形。
八、（20分）设 是数域 上全体2阶矩阵所构成的线性空间，给定一矩阵 ，
定义 上的变换 如下：
（1）证明： 为 上的一个线性变换。
（2）取 的一组基 ，求 在此组基下的矩阵。
（3）求证：如果 可相似对角化，则可找到 的一组基使 在此组基下的矩阵为对角阵。
九、（15分）设 分别为 阶和 阶矩阵，求证： 无公共特征值的充要条件为矩阵方程 只有零解。
十、（15分）设线性空间 的两组基 。
（1）求证：对 使 为 的基。
（2）如果 ，对 ，是否存在 ，使 为 的基，为什么？
东南大学二00五年攻读硕士学位研究生入学考试试卷
课程编号：433 课程名称：高等代数
一（15分）设n阶方阵A，B满足条件A+B=AB。
1 证明：A-E为可逆矩阵，E为n阶单位矩阵。2 证明：AB=BA。
3 已知： ，求A.
二（15分）设向量 ； 都是非零向量，且满足条件 ，令n阶方阵 。
1 求 ； 2 矩阵A的特征值和特征向量。 3 说明A是否与对角矩阵相似。
三.(15分)设 是复矩阵.
1.求出A的一切可能的Jordan标准形；2.给出A可对角化的一个充要条件.
四.(15分)已知3阶实数矩阵 满足条件 ，其中 是 的代数余子式，且 ，求：
1. 2.方程组 的解.
五.（15分）证明：一个非零复数 是某一有理系数非零多项式的根 存在一个有理系数多项式 使得
六（15分）设A是n阶半正定矩阵，B是n阶正定矩阵。试证： ，且等号成立当且仅当A=0。
七.（15分）设A是n阶反对称阵。证明：
1.当n为奇数时|A|=0.当n为偶数时|A|是一实数的完全平方;2.A的秩为偶数 .
八.（15分）设V是有限维欧氏空间.内积记为 .又 设是V的一个正交变换。记 ，求证：1. 是v的子空间;2.
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发表于 2012-1-14 11:05
