为什么f``（0）存在，不等于f（x）在x=0领域二阶可导？

email90 · 发表于 2011-8-9 15:41

全书第85页例2.67的疑问

吹牛老跌 · 发表于 2011-8-9 15:59

{:soso_e103:}不是数一啊

吹牛老跌 · 发表于 2011-8-9 15:59

f(x)在一点可导等价于 (1.) f(x)在这点左右导数都存在
                     (2.) 左导数和右导数相等
  必须同时具备 (1.)(2.)才可推出这个函数在这点可导
  依此类推可以得出 f(x) 在这点存在二阶导数但是 f(X) 二阶不一定可导

吹牛老跌 · 发表于 2011-8-9 16:02

导数存在是指函数在某点存在左导数或右导数，它们可以不相等。在某点可导意味着在此处不仅同时存在左导数和右导数，而且左导数和右导数相等。

email90 · 发表于 2011-8-9 18:59

吹牛老跌发表于 2011-8-9 16:02 导数存在是指函数在某点存在左导数或右导数，它们可以不相等。在某点可导意味着在此处不仅同时存在左导数和 ...

原来如此，太感谢了！

li1042959562 · 发表于 2011-8-9 19:11

吹牛老跌发表于 2011-8-9 16:02
导数存在是指函数在某点存在左导数或右导数，它们可以不相等。在某点可导意味着在此处不仅同时存在左导数和 ...

你这个说法好像有问题，关于这个问题是书上的原话，，高阶导数那一节的开头部分的一句话

261095965 · 发表于 2011-8-9 19:37

li1042959562 发表于 2011-8-9 19:11
你这个说法好像有问题，关于这个问题是书上的原话，，高阶导数那一节的开头部分的一句话 ...

原话是“如果函数f(x)在点x处具有n阶导数，那么f(x)在点x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数”

aiai_andy · 发表于 2011-8-9 20:39

老问题，一点可导，邻域不一定可导；一点连续，邻域不一定连续。可导和连续都是逐点定义的，超出这个范围，就是不遵守法则。一点连续，邻域不一定连续，设狄利克雷函数，D(x) = 0 (x是无理数) 或1 (x是有理数）构造函数f（x）=xD（x）这个函数在0这一点连续，但是在任一连续均不连续；一点可导，邻域不可导，可以构造函数：f（x）=x²D（x）。一切遵守定义，这个是关键。

email90 · 发表于 2011-8-11 12:30

aiai_andy 发表于 2011-8-9 20:39
老问题，一点可导，邻域不一定可导；一点连续，邻域不一定连续。可导和连续都是逐点定义的，超出这个范围， ...

就是说这个命题的关键在于点和领域的区分
而不是楼上所说的“导数存在不等于可导”
是吗？

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为什么f``（0）存在，不等于f（x）在x=0领域二阶可导？

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