有意思(18)左逆，右逆，正交阵

战地黄花

     矩阵集合上定义了乘法。以向量内积为基础的矩阵乘法非常成功。但它是不可交换的。即，通常有 AB ≠ BA，那怕在 n 阶方阵子集中也这样。

     矩阵的乘法有“单位元”E（n阶方阵）。即在可乘的条件下，AE = A 或 BE = B，E在乘法中的作用，就象数 1那样。

     若n 阶方阵A满秩，它就应该有逆元。即“右逆”AB = E 或“左逆”CA = E

     由于矩阵乘法不可易，按理“右逆”与“左逆”可能不同。但是《线性代数》中，满秩方阵A的逆阵B 的定义就是 AB = BA = E

     之所以有这个特殊性，原因在于A有伴随阵A*

     基本恒等式      A*A = A A* =|A| E

     在A满秩时，它告诉我们，A* /|A| 就既是A的“右逆”，又是A的“左逆”。且按照矩阵相等的定义，满秩方阵A的逆阵唯一。

     有趣的是，如果n 阶方阵A 的“列向量组”是标准正交组（单位正交组），则A′A = E

     你只能先说A′ 是A的“左逆”。 A′ 的行，就是A的列。左行右列作内积，恰好用上已知条件。但是，逆阵唯一，“左逆”就是“右逆”。A A′ = E

     这样一来，A的行向量组必定也是标准正交组。

     同样，如果 n 阶方阵 A 的“行向量组”是标准正交组，那它的列向量组必定也是标准正交组。

     实际上，很简单，A A′ = E，则 |A|=±1

     满秩方阵A的的逆阵唯一，A′ = ±A*

     只有两类正交阵 —— 要么A的每一元就等于自己的代数余子式，要么A的每一元等于自己的代数余子式的相反数。

    另有一个应用逆阵唯一性的好例。

    例   A和B都是n阶方阵，且 AB =A−B，试证明，A+E 可逆，且 AB = BA

    分析  要先生成 A+ E ，只有在  AB =A−B  上想办法。

                               AB+B = A+E−E ，进而有   E =（A+E）（E−B）

这表明   A+ E可逆， 且它的（右逆）为  E−B

     如何证第二问？好象没条件了。如果你能想到，右逆就是左逆。那就动笔试乘一下

                （E−B）（A+E）= E =（A+E）（E−B）整理后恰好有 AB = BA

     真妙啊，研考题会不会这样做文章呢？！

飞秋

顶上去

psj255

好好好

jh516

好  一会仔细研究下！

静静心啦

顶，刚才查了一下大学里可逆矩阵就是指方阵，其具有唯一性，即使左逆又是右逆

lxyd1989

牛人，顶啊