某点任意方向的方向导数存在，那函数在此点连续吗

hitzzc

rt
我证明的是任意方向线性趋近（说的太不严谨了，领会下意思吧~）于此点时，连续的。证明的话如下图所示。
但是做去年合工大的试题，答案是不一定，大家谁能举出来个反例，方向导数存在，函数不连续的例子啊~thx！
要是找反例的话我认为是从非线性趋近于此点的例子，如果我下图的证明没错的话。但是想了半天没找到。

[ 本帖最后由 hitzzc 于 2010-11-27 22:32 编辑 ]

nbxxxxx

楼主说的任意方向的方向倒数存在推导连续？？

战地黄花

学习多元微分学，一定要了解多元函数求极限的困难，认识“全”与“偏”的矛盾。
多元函数连续是全方位概念，方向导数是一个方向的事，两者自然不会有必定的关系。
教材上的偏导数存在而函数不连续的例，就是你想看的反例。
偏导数是特殊的方向导数。

hitzzc

偏导数不是特殊的方向导数的，只是沿x轴或y轴正向的伪方向导数，而方向导数可以沿轴向的负向，所以有偏导数不存在，而方向导数的例子。
比如 根号下（x平方+y平方），在x轴和y轴上的原点处无偏导数，但存在方向导数的。拿偏导数去举方向导数反例我感觉很不合适。

[ 本帖最后由 hitzzc 于 2010-11-27 22:29 编辑 ]

hitzzc

证明我补上了，只证明了线性趋近。

mimamimamima

偏导存在且连续 推出 可微 推出 原函数连续

ghostqueen

某点任意方向的方向导数存在，确实可以得出任意方向线性趋近于此点时连续的，这个没问题，你的证明应该也没错，关键就在非线性的时候~

反例其实很好举哇~书上应该有，比如（x^2+y^2）不等于零时f=(xy^2)/(x^2+y^4) , （x^2+y^2）等于零时，f=0

y=kx时极限都是0，连续的，但是y=根号x 时就是1/2 ，当然他的方向导数肯定是存在的

hitzzc

恩，谢了哈

lijie19881001

…，。？！、

[ 本帖最后由 lijie19881001 于 2010-11-28 12:07 编辑 ]