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有意思(14)积分越积越颓丧,求导越算越亮堂

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发表于 2010-10-9 21:36 | 显示全部楼层 |阅读模式
         微分积分说起来一对高级运算,实际上背景与实质都相去甚远。
            一元微积分通过函数的导数研究函数,讨论函数以估计积分。
            一元微积分讲究条件分析。连续否,可导否,左导数,右导数,导(函)数的左,右极限,导函数天然满足介值定理,……,怎样判定导数符号,什么样的可导条件下用什么样的中值定理,给函数一个新的表达方式,为自己架好“过河的桥”,……。一切都明明白白时,你就可以“笑傲江湖”。
            多元微积分讲究处置方案。如何把复杂的高维积分计算,通过微元分析,运用多种坐标方式转化为逐次定积分。
            由此可见,可导性讨论与导数计算是第一基础,定积分是第二基础,积分方法只是个过度章节。
            导数定义作用于基本初等函数,生成一套有序的求导公式。伴随着初等函数的结构顺序,《高等数学》建立了“和,差,积,商函数求导法则”与处理复合函数的“链锁法则”。进而还有“取对数求导法”,“隐函数求导法”,……。一切函数皆可讨论求导,计算导数。导数讨论与计算娴熟,心有灵兮一点通,你讨论函数,估计积分,解微分方程,……,必定是处处反应特好。“横扫千军如卷席。”
                    积分没有自己的公式,完全靠求导公式逆反,得到几个不成顺序的积分公式。即便是lnx ,arctgx这样的基本初等函数,你也不能一口说出它的原函数。梢为复杂一点的函数,往往就无法积分。历史上的积分资料浩如烟海。基本是一把钥匙开一把锁。比如
“任意二次三项式的二次根式” 求积,有一套欧拉变换,而大学数学只讲了最特殊的“用三角变换,去掉两项平方差的二次根式的根号”。
学生只学了一点点知识,全然不知背景,不明深浅。积分越积越颓丧,白费时间无收获。细细想来,你不会复杂的积分有什么关系呢???!!!只要基本积分方法会,丝毫不影响你学习积分应用及多元微积分。查一查以往的考研试题,数学一,三,四都很少有单一的定积分题。就是牵涉到积分方法的综合题,大多数都聚焦于分部积分。
           最没有意思的是讨论什么“可积性问题”。 在黎曼积分的范围内,根本得不到“可积”的充分必要条件。知道并能证明“有第一类间断点的函数,在含此间断点的区间上不存在原函数。”这一结论就很不错了。就算是数学专业的学生,也不会去搞这样的问题。高等微积分中,“一致连续”,“一致收敛”的判断与讨论,那才是必考的精华。
光阴似箭,时间飞逝。过度章节会基本。作题多想知识含金量。争取一定的付出确有收获。


[ 本帖最后由 战地黄花 于 2010-10-9 22:12 编辑 ]

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先占位!再看!
LZ是个好老师!
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谢谢老师
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顶 老师了
演算纸达到2米是我考研成功的必要不充分条件
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顶,不定积分的技巧性太强了,浪费时间
专业课一道选择,A、一定B、不一定(我还纳闷C会是什么?),结果一看,一定不。
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可积与原函数存在好像是两个概念。有第一类间断点说明原函数不存在,可积是指定积分存在吧!
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