有意思（14）积分越积越颓丧，求导越算越亮堂

战地黄花

         微分积分说起来一对高级运算，实际上背景与实质都相去甚远。
            一元微积分通过函数的导数研究函数，讨论函数以估计积分。
            一元微积分讲究条件分析。连续否，可导否，左导数，右导数，导（函）数的左，右极限，导函数天然满足介值定理，……，怎样判定导数符号，什么样的可导条件下用什么样的中值定理，给函数一个新的表达方式，为自己架好“过河的桥”，……。一切都明明白白时，你就可以“笑傲江湖”。
            多元微积分讲究处置方案。如何把复杂的高维积分计算，通过微元分析，运用多种坐标方式转化为逐次定积分。
            由此可见，可导性讨论与导数计算是第一基础，定积分是第二基础，积分方法只是个过度章节。
            导数定义作用于基本初等函数，生成一套有序的求导公式。伴随着初等函数的结构顺序，《高等数学》建立了“和，差，积，商函数求导法则”与处理复合函数的“链锁法则”。进而还有“取对数求导法”，“隐函数求导法”，……。一切函数皆可讨论求导，计算导数。导数讨论与计算娴熟，心有灵兮一点通，你讨论函数，估计积分，解微分方程，……，必定是处处反应特好。“横扫千军如卷席。”
                    积分没有自己的公式，完全靠求导公式逆反，得到几个不成顺序的积分公式。即便是lnx ，arctgx这样的基本初等函数，你也不能一口说出它的原函数。梢为复杂一点的函数，往往就无法积分。历史上的积分资料浩如烟海。基本是一把钥匙开一把锁。比如
“任意二次三项式的二次根式” 求积，有一套欧拉变换，而大学数学只讲了最特殊的“用三角变换，去掉两项平方差的二次根式的根号”。
学生只学了一点点知识，全然不知背景，不明深浅。积分越积越颓丧，白费时间无收获。细细想来，你不会复杂的积分有什么关系呢？？？！！！只要基本积分方法会，丝毫不影响你学习积分应用及多元微积分。查一查以往的考研试题，数学一，三，四都很少有单一的定积分题。就是牵涉到积分方法的综合题，大多数都聚焦于分部积分。
           最没有意思的是讨论什么“可积性问题”。 在黎曼积分的范围内，根本得不到“可积”的充分必要条件。知道并能证明“有第一类间断点的函数，在含此间断点的区间上不存在原函数。”这一结论就很不错了。就算是数学专业的学生，也不会去搞这样的问题。高等微积分中，“一致连续”，“一致收敛”的判断与讨论，那才是必考的精华。
光阴似箭，时间飞逝。过度章节会基本。作题多想知识含金量。争取一定的付出确有收获。

[ 本帖最后由 战地黄花 于 2010-10-9 22:12 编辑 ]

scl1989

顶老师

cry505002

先占位！再看！
LZ是个好老师！

amaogg

有意思

cessilia

谢谢老师

落寞中前行

顶 老师了

sdc2010

顶，不定积分的技巧性太强了，浪费时间

lncherry

[em:42] 见解独到

kanzo

不懂

小凡的挚爱

可积与原函数存在好像是两个概念。有第一类间断点说明原函数不存在，可积是指定积分存在吧！