分析法，综合法，反证法，构造法

战地黄花 · 发表于 2010-9-16 20:59

         分析法，综合法，反证法，都是欧氏分析方法。欧氏分析方法起自于欧氏几何，早在公元前400年左右即为人类总结运用。
      构造法是微积分学，代数学自身的方法。
   分析法——尽可能由已知条件挖掘信息，并以此为起点作逻辑推理。
         一元微积分讲究条件分析。要用分析法，就需要对各个概念理解准确，强弱分明；推理有序，因果清晰。为了弥补非数学专业学生的“短板”，我建议大家把考研题目中出现頻率较高的典型条件，预先推个滚瓜烂熟。比如
      已知条件“f（x）连续，且x趋于0时，lim(f（x）/x) = 1”的推理。
      （见讲座（9）基本推理先记熟。）
         已知条件“f（x）在点x0可导，且f ′(x0) > 0 ”
的推理。
      （这是阐述“一点可导且导数大于0与一段可导且导数大0的差别；证明洛尔定理（费尔玛引理），达布定理，……，等的关键。
         见讲座（11）洛尔定理做游戏；讲座（17）论证不能凭感觉。）
         已知条件“非零矩阵AB = 0”的推理。

      （见讲座（42）矩阵乘法很惬意。）
         已知“含参的三阶方阵A能与对角阵相似，且A有二重特征值。计算参数。”的推理。
      （见讲座（48）中心定理路简明。）
         “已知连续型随机变量X的分布函数或随机向量（X，Y）的密度函数，求函数型随机变量U = φ (x) 或U =φ(x ，y) ”的推理计算
         （见讲座（78）分布函数是核心。）
         一个娴熟的推导就是一条高速路啊。你非常熟练了吗？！
      综合法 —— 由题目要证明的结论出发，反向逻辑推理，观察我们究竟需要做什么。
         最典型的范例是考研数学题目“证明有点ξ，满足某个含有函数及其导数的关系式”。
      例设函数f (x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内可导，且f (0) = 0，则区间（0，1）内至少有一点ξ ，使得
f (ξ) f ′(1―ξ) = f ′(ξ) f (1―ξ)
      分析（综合法）即要证明
f (ξ) f ′(1―ξ) ― f[b′(ξ) f (1―ξ) = 0
            点ξ是运用某个定理而得到的客观存在。用x替换ξ，就得到刚运用了定理，还没有把点ξ代入前的表达式。即
f (x) f ′(1―x) ― f′(x) f (1―x) = 0
         （在点 x =ξ 成立）
            联想到积函数求导公式，即（f (x) f (1―x)）′= 0
         （在点 x =ξ 成立）
            这就表明应该作辅助函数F (x) = f (x)，证明其导数在（0，1）内至少有一零点。
            易知F (0) = F (1) = 0，且F (x)在 [a, b] 连续，在（a, b）内可导，可以应用洛尔定理证得本题结论。
            当然，题型多种多样，但这总是一条基本思路。如果关系式中有高阶导数，那要考虑试用泰勒公式。
         反证法 —— ……。
            这是大家都较为熟悉的方法。但是你也许没有注意到，用反证法简单可证的一个小结论，在微积分中有着很广的应用。粗糙地说，这就是

         “A极限存在（或连续，或可导）+ B极限不存在（或不连续，或连续不可导）= ？”
            随便选一说法用反证法，比如
            如果，“连续A + 不连续B = 连续C”
则“ 连续C-连续A = 不连续B”
            这与定理矛盾。所以有结论： 连续函数与不连续函数的和一定不连续。不过要注意，证明是在“同一个点”进行的。
            作为简单逻辑结论，自然类似有：
         （同一过程中）A极限存在 + B极限不存在 = C极限一定不存在
            （同一个点处）A可导 + B连续不可导 = C一定连续不可导
            还可以在级数部份有：
            收敛 + 发散 = 发散，
                           绝敛 + 条敛 = 条敛
            对于乘法，由于分母为0时逆运算除法不能进行，必须首先限定以确保用反证法获得结论。比如

            “若f（x）在点x0可导，且f（x0）≠ 0，g（x）在点x0 连续不可导，则积函数y = f（x）g（x）在点x0一定连续不可导。”
            （见讲座（8）求导熟练过大关。）
            对于积函数y = f（x）g（x）求极限，我们由此得到了一个小技术。即
         “非零极限因式可以先求极限。”（见讲座（16）计算极限小总结。）
         （画外音：或是分子的因式，或是分母的因式，只要极限非0，就先给出极限，再“骑驴看唱本”……。）
            构造法 ——（难以“言传”，请多意会。）
            老老实实地写，实实在在地描述，水到渠成有结论。这是微积分自家的方法 ——“构造法”。但是在构造法思维过程中，往往也综合运用着分析法，综合法，反证法。
            “证明有界性”，也许最能显示“构造”手段，即把变量的“界”给构造出来。*例
            已知函数 f（x）在 x≥a 时连续，且当x → +∞ 时f（x）有极限A ，试证明此函数有界。
         分析本题即证，∣f（x）∣≤ C
            讨论有界性，我们只学了一个定理，在闭区间上连续的函数有界。本题中如何“管住”那个无穷的尾巴呢？那就看你能否体验条件“x → +∞ 时f（x）有极限A” ，即

         “我们一定可以取充分大的一点x0，使得x > x0时，总有∣f（x）∣≤∣A∣+1 ”
            把半直线x≥a分成 [a，x0] 与 x > x0两部分，就能“构造”得∣f（x）∣≤ C
            （（祥见讲座（9）基本推理先记熟。）
            在讲座（11）“洛尔定理做游戏”中讲的“垒宝塔”游戏，在讲座（13）“图形特征看单调”中讲的“逐阶说单调”，都是构造法的讨论方式。
            每完成一个题目，不妨想想用的什么方法。你也许提高得更快。

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