有意思（13）有限到无穷，这是质变

黄手绢

“可列集”……好熟悉的字眼 呵呵

老牛一头

战地黄花？？？？？？？啊！！！教授啊！！！！膜拜啊！！！

战地黄花

从有限到无穷，这是质变。
        只含有限个数的数集，一定有最大及最小的数，而无穷集则不一定。比如自然数集有最小值而没有最大值。数集（0，1）则既没有最小值，也没有最大值。
        两个有限集，一定可以分出，谁含有的数较多。而无限集之间只能看是否能建立一一对应关系。如果两个无限集之间能建立一一对应，我们就认为这两个数集所含有的数“一样多”，即是两个数集属于同一级别。
        很有趣也很哲学的是，通过 2n → n ，“偶自然数集”可以与“自然数集“建立一一对应，即它们属于同一级别。这表明，无限集的真子集可以与全集建立一一对应，而有限集显然不行。
        能与自然数集建立一一对应的无限集，称为可列集。每个不可列的无限集，都一定能与数集（0，1）建立一一对应。这样一来，从含有数的“多少”意义来看，只有两类无限集。可列集或不可列集。
        高等微积分（《数学分析》）的第一章，讲实数的完备性。即全体实数与数轴上的点成功一一对应。于是我们从此“点”“数”不分。最令人吃惊的是，尽管有理数具有稠密性，即任意两个实数之间必定至少有一个有理数，但是全体有理数是一个可列集。实轴上几乎全是无理数。
        非数学专业的《高等数学》没有这一章。学生们在没有点集拓扑的基础上学习大学数学。有些问题理解起来就很难。
        比如有n个未知量的齐次线性方程组 Ax = 0，如果有一个非零解，就必定有无穷多个非零解。怎样来体验这个解集呢？我有下面的几何思维方式。
        如果 r（A）= n―1，则 解集秩 = 1 ，基础解系由一个解向量ξ 组成。通解 x = Cξ ，通解中有且只有一个独立（实）常数。这样一来，显然解向量集与数轴成功一一对应，所以我们说，方程组 Ax = 0有 “一维的解向量空间”。
        如果 r（A）= n―2 ，则 解集秩 = 2 ，基础解系由两个解向量组成。通解中有且只有两个独立（实）常数。这两个独立（实）常数按序排成（C1，C2），唯一对应着平面上一点。这样一来，显然解向量集与平面（二维空间）成功一一对应，所以我们说，方程组 Ax = 0 有 “二维的解向量空间”。
                        ……      ……       ……
             一般地说，设A的秩为 r（A），则 解集秩 = n―r（A） ，基础解系由 n―r（A）个解向量组成。通解中有且只有 n―r（A）个独立（实）常数。这 n―r（A）个独立（实）常数按序排成n―r（A）维向量，唯一对应着n―r（A）维空间中一点。显然解向量集与 n―r（A）维空间成功一一对应，所以我们说，方程组 Ax = 0 有 “n―r（A）维的解向量空间”。
       （潜台词：每个解向量都是 n 维向量!!!!!!!   整个解集在一一对应的意义上，（这是讨论无穷集的潜规则!!!!!!!!） 成功 n―r（A）维向量空间。n 维向量空间的一个 n―r（A）维子空间。）
        其次，讨论无穷过程的发展趋势自然要用到极限，也只能运用极限。有了这个意识，数项级数的“和”的定义，无穷积分的定义，都是很容易接受，很容易想到的事情。
        由于+∞与―∞是两个发展方向，因而“全直线上的积分”要分为两个无穷积分各自定义。两者都收敛时，“全直线上的积分” 收敛。有的人不明白，“奇函数在全直线上的积分为0”是错误结论，根源就在于不懂“全直线上的积分” 收敛的定义。
        由于从有限到无穷是质变，有限状态下的结论在无限状态下就不一定成立。恩格斯说，（在无限状态下）一切都需要重新验证。
       （在同一区间上），有限个连续函数的线性组合连续。而各项都连续的函数项级数，其和函数却不一定连续。
       （在同一区间上），有限个可导函数的线性组合可导，且导函数等于，各函数导数的同一线性组合。而各项都可导的函数项级数，即便和函数可导，其导函数也不一定等于各项的导数所组成的级数。
（      在同一区间上），有限个函数的线性组合的定积分，等于各函数的定积分的同一线性组合。而对于函数项级数，其和函数的定积分，不一定等于各项的定积分所组成的数项级数的和。，
         幂级数为什么能在其收敛区间内“逐项积分”； 能在其收敛区间内任意有限阶“逐项求导”呢？其背后有坚强后盾。即幂级数在收敛区间内是“内闭一致收敛”的。这是一很强的条件。非数学专业学生知道 “有坚强后盾”，可以加深印象。一切都不是随意的。

[ 本帖最后由 战地黄花 于 2010-9-11 21:23 编辑 ]

快乐girl

拜读~~

kanzo

哎  其实分析学这一块  就是一个极限！

默默磨墨

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867805780

太纠结了。

heydyon

楼主注重思考

成功在北广

[em:42]

江32

跑堂  过来瞅瞅