[请教贴]线代 关于正定矩阵的一个必要条件 不太懂

ibluecoffee

正定矩阵有一个必要条件是  主对角线的上的元素  全部大于零，即 aii > 0
想问下这是为什么，有证明么？谢了~

wangyanstorm

正定矩阵的所有的特征值都是大于零的，
而矩阵的迹(即：主对角线元素之和)=所有特征值的和>0

wangyanstorm

或者
直接用正定的定义就可以了。
取x=(0,0,...,1,...,0)'，即第i个元素为1，其余为0的列向量，那么
x'Ax=a_{ii}>0。（定义）

wangyanstorm

再给个方法
首先，n=1时，是显然成立的。
假设，n=k时成立。
则，当n=k+1时。则考虑其一个n阶主子式，其也是正定的。其对角元的元素之和全都大于0。再考察另一个n阶主子式，则其对角元的元素也全大于零。综上知，其所有的对角元的元素都大于0。
综上知，命题得证。

hale1007

楼主，建议你还是好好看看教材吧

ken880602

是必要条件~楼主请注意~强调的是必要条件！正定矩阵的充要条件是特征值全部是正数，那么特征值全部为正数的必要条件就是主对角线上的元素的和大于0，积也大于0。然后递推~楼主好好想哈~

ibluecoffee

谢谢各位！
总结一下，还是觉得wangyanstorm给出的第二个方法比较简单明了！直接可以把对角线元素给取出来。

另外，对于其他方法我有一些疑问。

他的方法一：
“正定矩阵的所有的特征值都是大于零的，而矩阵的迹(即：主对角线元素之和)=所有特征值的和>0 ”

不知道是不是我没有理解，主对角线元素之和>0，然后是如何可以说明每一个元素都大于零的呢？

他的方法三：
“再给个方法
首先，n=1时，是显然成立的。
假设，n=k时成立。
则，当n=k+1时。则考虑其一个n阶主子式，其也是正定的。其对角元的元素之和全都大于0。再考察另一个n阶主子式，则其对角元的元素也全大于零。综上知，其所有的对角元的元素都大于0。
综上知，命题得证。 ”

这个归纳的方法大概是我没有看懂，只是我有几点疑问
1 一个正定矩阵的每个n阶主子式对应的矩阵也一定是正定的么？是不是也需要给出必要说明。

2 “n=k时成立。则，当n=k+1时。则考虑其一个n阶主子式，其也是正定的。其对角元的元素之和全都大于0。再考察另一个n阶主子式”
这里是不是打错了，您说的考虑一个n阶主子式之后，在考虑另一个n阶主子式，我想问的是，对于一个正定矩阵，其n阶主子式是不是只有一个？

ken880602给出的方法：
“正定矩阵的充要条件是特征值全部是正数，那么特征值全部为正数的必要条件就是主对角线上的元素的和大于0，积也大于0。然后递推”
这里的所说的递推我不大明白，指的是对于什么的递推呢？


不好意思了，线代学的比较水，可能有些追问的很幼稚，见谅了，呵呵~

chonini

用反证法试试，正定矩阵必定和正定二次型一一对应，你假设aii 小于等于0，对于非零矩阵(0,0,...,1,0,0...0) 即，第i个元素为1。

这样对应的二次型中，混合项为0,平方项只剩下aii,所以二次型小于等于0，这与他是正定矛盾。

ibluecoffee

感谢楼上，这个方法比较好，呵呵~