【版主推荐】证明题方法（更新下载word版链接见458楼）

LLLYSL

458链接地址：http://bbs.kaoyan.com/forum.php?mod=viewthread&tid=3313141&page=31#pid33335084
前言：之前一直有人对证明题感到烦恼，所以决定先写一个关于证明题如何去思考的帖子，里面会通过不少题目来和大家分享自己思考证明题的全过程。不过，由于本人平时也需要学习，所以不能一口气写完，决定一点一点更新，具体形式是：每天一道题左右，但是会将这道题的思考过程全部展现，包括在思考过程中一些无法走通的路。还有，证明题需要对一些概念和定理理解的比较深刻，所以最后会对证明题本身进行一个小结，透过现象看本质。当然，我个人更希望大家能够踊跃的参与讨论，提出自己的疑问，或许你的疑问也是大家共同的疑问。此外，我还有个想法，就是大家在做题过程中遇见的一些比较典型的证明题也可以发到这个帖子下面，我会尽快给出解答以及如何去想。对论坛里面的比较好的题目也会收录并总结。
这里的主楼是用来将所有的证明题的过程的楼数链接给出来的（我的帖子更新是以跟帖的形式，所以需要在这里把那层楼的具体地址给出，欢迎围观题目与解答层！！），沙发是用来发高等数学学习方法参考的。
注：每道题目后面都有word版的下载，欢迎下载交流！

题目1：题目1泰勒公式的一个应用
题目2：题目2中值定理的探究
题目3：题目3积分不等式的证明
题目4：题目4积分不等式放缩技巧
题目5：题目5定积分换元技巧及证明思想
题目6：题目6级数与微分法
题目7：题目7积分等式证明常用方法
题目8：题目8递推不等式求数列极限问题
题目9：题目9中值定理
题目10：题目10齐次化解决不等式问题
题目11：题目11证明不等式的思想方法
题目12：题目12多元函数的一点问题
题目13：题目13函数方程与导数

这里是练习题答案，部分是版友自己做了给出的，在此感谢！（欢迎大家都参与进来，一起享受解题的乐趣）

题目1练习题解答：题目1练习题解答（LLLYSL给出）
题目2练习题解答：题目2练习题解答（版友stone1667给出1,2题，LLLYSL给出3题）
题目3练习题解答：题目3练习题解答（版友stone1667给出）
题目4练习题解答：题目4练习题解答（版友stone1667给出左半部分证明，LLLYSL给出右半部分证明）
题目5第一题练习题解答：题目5第一题练习题解答（版友stone1667给出）
题目5第二题练习题解答：题目5第二题练习题解答（LLLYSL给出）

建议：对于我贴出来的题目，建议大家思考一下再看解答，因为如果一来就看的话，首先是对题意的理解还不够深，思维比较局限，其次对提高自己证明的能力也不够。所以，看题后自己多想一想，然后看解答，这样更容易提升证明的能力，即使自己没想出来，也会有所提高！！
下面开始今天的第一题！！

说句实话，这倒证明题的难度倒不是很大，不过希望通过这道证明题，让我们学习到更多的方法和思路，这才是最终目的。
好了，下面开始对这道题目进行分析解剖。
看见这样一道题目，不知道大家的第一反应是什么？！我提一个问题，如果你作为一个出书的人，你会把这道题目放到高等数学的哪个版块？比较准确的答案应该是泰勒公式！！如果你能成功的想到泰勒公式，那么很好，这道题目你有了方向有了目标，你已经成功了一半！
那么，这道题目又该如何去做呢？
考虑泰勒公式，不难发现，其实这道题目相当于让我们把tanx在0点展开。于是，这道题基本来说就没有难度了。于是，我们华丽的把公式一摆，然后算tanx在x=0处的1,2,3,4,5阶导数，最后往公式里面一代，搞定！
下面就是这种方法1：

做完这道题目，不知道大家会不会有一种感觉，很累很累！还有一种感觉，到底我算对没有啊，计算好复杂啊？！！没错，如果直接用泰勒公式进行求导运算，不但运算量很大，而且还极可能在某一步算错。一旦算错，后面的全错。这是多么可怕的事情啊！即使算出来了，自己心里面也没有个底，如果这是考试的话，对你的影响也不小。所以，既然是平时训练，就应该寻求更简洁，更可靠的方法。
于是，为了解决这个问题，产生了下面的一种解法。相对上面的方法简单不少！

这种解法好就好在它没有直接利用函数的表达式，而是利用抽象函数的求导和复合函数的关系进行运算的，大大减小了运算量和出错率。而且，能够想到这种方法，更重要的一点是我们最后需要的是tanx在0点的1~5阶导数值，而不是具体的表达式，因此，利用这种抽象函数的导数，可以建立递推关系，从而得出各阶导数的值。同时，这也是在向我们暗示，如果以后遇见要求某个具体函数在某点的K阶导数值，可以先建立微分方程，然后利用抽象函数求导来做，这样可以简化计算！！
上面的方法比较容易想到，因为都是直接利用泰勒展开式的公式做。下面就来一些比较有技巧的方法，虽然说是技巧，但是也不是毫无章法的，而是有规律可循！
方法3

这种方法是利用求极限来确定待定的系数。注意第一步的判断tanx的奇偶性，这是非常重要的，因为这一步又减少了不必要的运算，而且更深刻的刻画出了tanx在x-=0点的展开式的形式。说到这里，根据这道题目的开头，我们知道，上面的两种解法貌似都可以简化了！不过由于求导是一阶一阶往下面做的，所以还是得一点一点求。也就是说，计算量还是无法减少，不过，你可以作为验证每个导数在0点值是否正确的筹码了。一旦出现错误，你也可以意识到，这样也能及时修补。所以，能够宏观把握一个函数的性质（奇偶性，对称性，周期性），对你简化计算或者是验证过程的正误都是帮助很大的。
最后说说这种方法的思想吧。
我们应该都记得sinx的泰勒展开吧。老师也应该说过，看见sinx的泰勒展开式，我们就应该明白为啥x→0的时候，sinx~x，sinx-x~-1/6x^3了。因为这个时候，他们对应成为了同阶无穷小（此时是等价无穷小）。于是立即联想到同阶无穷小的定义

所以，我们现在要求的不正是这个表达式中的k么？于是上述方法油然而生！！
下面两种方法相对比较稀有，但是很适合开拓视野，并且也是有一定的规律包含其中！
方法4

看了这个解法，也许很多人都一头雾水了。因为表达式复杂，运算感觉也很复杂，我在这里做几点补充说明。
前面两步大家应该都没有任何问题，就是切化弦，然后分别泰勒展开。可能对于第三步，就不太理解了。确实，第三步是本方法的难点，也是最关键的一点。利用的知识点很简单，就是1/(x+1)的幂级数展开式，如下图

然后把红颜色的看成一个整体，利用蓝色公式展开。注意，展开的时候不要什么都不想就一口气往下弄，要思考下，题目要求几阶，我们展开到几阶就可以了！因为红色的是一个整体，所以平方后，出现的最低次数都是4了，在乘以外面的最低次数1，也是5。因此对更高阶我们可以直接用O6表示了（O6是指6阶及以上）。后面的运算看似复杂并且莫测，实际上很简单，只需要利用我之前说的，想想你的目的是什么？展开到最高阶为5。所以，一旦出现6阶以上的，都可以用O6表示，这样就大大简化了运算的难度。最后化简得答案！！
方法5

看过了上面的那种解法，很多人觉得这种解法不如上面的直接。不过，正因为这种方法别扭一些，使得它适用范围更广一些。因为有些相除的式子没有对应的简单展开式，所以只能利用这种方法。这种方法在一些泰勒展开中起着相当大的作用！


以上是我能够提供的5种方法了，大家也可以自己看看还有没有其他方法来做。
最后我们对这道题打一个总结。通过这道题，我们学到了什么？！！
法1法2对比，我们知道在求某个定点的高阶导数，往往不会利用其一般函数式（能利用函数表达式求高阶导数的只有书上给出的那几种以及其变式），而是采用间接的方法来求。
如求arctanx的n阶导数。
法3不计算不太难，并且思路也不是特别古怪，算是把极限和泰勒联系在一起了的好方法。通过这道题目，我们也可以看出，如果以后再出求极限题并且含有tanx，可以考虑使用这道题目的结论了（这也就是我说的记忆一些小结论）
如题

答案是7/40，我自己编的题目自己算的，你们可以帮忙演算下
这道题如果直接洛必达非常复杂，而且需要好几次，你可以想象一下后面分子的样子⊙﹏⊙b汗！
但是泰勒一下就出来了。
法4法5学会了多项式相除的处理方法，通法是法5，法4技巧性稍强一些。
最后，总的来说，要想学好证明题，对每道题目的分析要足够透彻。今天选的题目确实难度不算大，但是里面包含的东西却不少。如果真正掌握每一个部分，我觉得证明水平就提升了一步！
明天继续更新，争取每天都更新一道，然后分析清楚，讲明白。
如果大家对我第一道题的哪种方法没看明白的，请留言，我会及时解答的！1

[ 本帖最后由 LLLYSL 于 2010-12-3 21:15 编辑 ]

LLLYSL

题目2发布
今天来看看第二题吧。题目本身不算难题，不过由于涉及的内容对考研的帮助特别大，又是典型中的典型，所以选出来说。希望今天通过这道题目，能够让大家掌握如何思考这类题目！

这道题目的条件很明显，闭区间上连续，开区间上可导，第一反应应该就是中值定理了
中值定理有三个，那么该用哪个呢？
回一下就可以发现，三个中值定理都只会出现一个参数，但是题目中却出现了两个参数η，ξ。那么怎么办？这个时候就应该知道仅仅一个中值定理是解决不了此题的，所以考虑使用两个中值定理来做！那么，到底该使用哪两个中值定理呢？一般来说，中值定理的混用有3种，两个拉格朗日，一个拉格朗日一个柯西，两个柯西。具体问题就要具体分析了。所以对这道题目，我们有必要对式子进行变形，从中发现线索！

不知道大家看出来我变形的目标没有----就是将同一个参数集中在一堆，然后f放在分子，具体函数（在这道题中就是cosx与sinx）放在分母。从这种形式，我们很容易看出来，这应该是柯西中值定理的应用

左边f’(η)/sinη就可以看做柯西中值定理的右边部分，这样一来，我们只需要把分子分母的原函数找出来，然后用柯西中值定理处理就可以出现我们结论中的东西了。
同理，右边的f’(ξ)/cosξ也可以再用一个柯西中值定理处理。
注意，这里左边就应该取端点值a,b，因为表达式里面还含有a,b。至于那个tan（(a+b)/2)可以暂时不管，先分别用柯西中值定理处理后然后再看看是否能够出现那个式子，如果出现不了的话才考虑其他的（一般这种情况很少产生），能够出现，命题基本上可以说是得证了！
于是下面就是解答过程

看来，只要将用两个柯西中值定理想出来了，后面的就是水道渠成了。那个tan（(a+b)/2)也是自然而然就出现了。
最后总结一下这道题。
从这道题我们能够学到哪些东西？
首先，通过条件的分析，知道很可能使用中值定理，这是整体把握此题，让自己有个大致的方向。
然后就是对题目的分析了。处理一个变量的中值定理的证明题，一般都是利用分析法，也就是通过条件倒推，最后看出需要构造什么样的辅助函数。而处理两个变量及以上也是分析法，不过往往是对结构的分析了。一般步骤就是先将同一个变量放在一起，然后看看那个中值定理的形式和此相同，即可决定使用那个中值定理了。也就是说，这种多变量的中值定理证明题的突破口就在变量上面，做适当变形，分析出条件的使用。至于那些常数（比如这道题里面的tan（(a+b)/2)）完全可以不管，因为往往你将变量的来源分析清楚了，做一下处理，就可以得到这些常数了！
为了帮大家熟悉一下这类题型，我又找了几道题，大家自己练习下，如果哪道题不会的，跟帖提出来。我可以帮你分析下思路。



三道题的难度是递增的，希望大家多多思考！

[ 本帖最后由 LLLYSL 于 2010-8-22 13:27 编辑 ]

LLLYSL

在开始证明题专题帖子开始之前，谈谈学习高等数学的一些方法，仅供参考。
就考研而言，高等数学无论从难度还是分数来说，都是最重的，加上本人线代和概率目前实力也不怎么地，所以只谈谈高等数学的复习。

1抓住教材（这里谈同济版的）

    很多人总是眼高手低，对教材的重要性熟视无睹，其实这是非常可怕的。对于大多数人来说，都不是数学神童，所以无法脱离教材也能取得很好的成绩，因此，教材是高分的根本！对于教材的阅读，很多人认为不过就是看看定理公式，背下来一切就OK了。这么想那么又错了！有些公式确实背下来就可以了，但是有些东西需要你去理解，而且理解的深度也不小！！很多人之所以学不好数学，就是概念理解不够，背住概念不等于掌握概念！所以，教材上面的很多概念需要大家不断去消化。然后，书上的例题都是很好的，每一道都是一种典型，需要研读一遍，自己做！自己作对的要对比答案，看看你和答案哪些地方不太一样，是不是可以简化自己的书写步骤，还是自己的方法比答案更加简洁！无论如何，要在对照中获得更多的信息，这比做10道题目更为重要。其次，就是课后练习题。如果有时间，我个人建议是一道不落的全做！具体原因我后面会说的。不过时间太紧了，就做一些做典型，比较复杂的吧，简单的跳过，哪些值得做可以请教考研的辅导老师或者相关人士。最后，我想说同济版里面的精华中的精华就是总复习题，很多题都是考研难度的，而且非常非常典型，每道题如果真的研究透了，实力增长肯定很猛！
当然，教材我个人认为读一遍是完全不够的，能够读一遍教材就全部掌握的人那一定是数学超级大牛！所以，对于比较平凡的我们，有必要多读教材！可是教材如何读呢？我个人认为，对于0基础的人，应该精读教材的每一个地方，对比着考研大纲读，这一遍尽量让自己能够对高等数学有个整体的把握！而对于有一定数学基础的人，我觉得对于自己已经完全掌握了的知识点可以泛读，但是不能不读！对于自己掌握不好的地方一定要精读！如果有笔记的结合笔记读效果更好，虽然同济的教材很好，不过还是有不少小结论没有的，因此一般上课老师会补充讲解。读了一遍读不懂，再来一遍！比如我自己，当初在第二类曲面积分这个地方卡壳了，开始非常非常的痛苦，但是我反复看那一章的教材，并且结合参考书的讲解，现在完全搞懂了！此外，不要急功近利，这样会对学习的效果打折扣！开始的痛苦是为了后来的成功！！！
最后，在上考场前，需要再将教材通读一遍。怎么读呢？我建议，看着书的目录，自己一点一点回忆知识点并写在纸上，写完后自己翻书一点一点对照。这样有助于将知识系统化，效果很不错！
总而言之，教材是数学考试的灵魂，没了她，你一事无成！

2选择一本好的参考书

看见了论坛对参考书的讨论帖也不少，但是说法不一。这里谈谈自己的观点：什么叫做好的参考书？适合自己的，就是好的！所以不要一味随大流。找到一本心仪的，对你的成功可谓是事半功倍的效果。此外，很多人对参考书的数量也有讨论，我个人在平时学习时习惯多本参考书。一本为主，其他都是辅助的。也许有人说，这样多么浪费啊。我可以毫无压力的告诉他，现在的参考书泛滥，要找到一本全是精华的根本不可能了。所以，这个时候，为了将来，要放长远的目光，选择几本参考书要必要。比如复习时，大家都选择全书，我觉得可以配一本陈文灯的指南，全书精读，指南的作为补充。当然，这个得需要有一定的方法，至于如何实行，每个人都有各自的章法。总之，不要为了省几个钱，而浪费了青春！（不过，这一切都是建立在你买了参考书要看，并且用心看。否则真的就是浪费钱又浪费青春！）

3营造一个好的氛围

这一点对一个人的成败是潜移默化的影响，千万不要小瞧这个！！
好的氛围应该包括几点：天时，地利，人和！

天时

就是选择一个比较合适的时间来学习。因为考研数学是上午，所以将平时学习数学的黄金时间都集中在上午比较好。尤其是精读的时候，需要在这个时间段进行最精华的吸收。

地利

选择一个适合上自习的地方！我觉得这样的地方应该包括2方面。一是很安静，保证学习不受影响；而是周围都是一起奋斗的同学，给你压力的同时也增加了动力，因为你不是一个人在战斗，此外也将学习氛围给烘托出来了。

人和

选择一个一样考研的研友（尽量是同学或者好朋友），如果他（她）擅长数学更好。在学习的过程中，如果遇见不懂的，可以随时请教，不过注意了，不要随意打断别人的学习，这样会让人反感甚至最后不愿意和你一起学习。所以最好的方法就是在他没有学习的时候请教。讨论对于学习数学来说也是不可多得的一个好方法。而且还可能碰撞出智慧的火花！

4保证天天有题做

现在网上出现了不少对于题海战术的抨击，使得很多不明真相的人跟风，于是乎大家对做题这种说法都看作是一种低效率的学习了，其实不然，对于数学，我觉得从某种意义上说是错误的！
首先我要说的是，所为题海战术，是为了做题而做题。这种方法不可取，我严重同意，我顶，我顶，我顶顶顶！
但是，如果你是为了学好数学而做题，这就不叫做题海战术了。因为要掌握数学这门理论性极强的科目，不做题，一切空谈。你想不做题或做很少题就拿高分，除非你是大牛！可是扪心自问，你是么？！所以，对于平凡的我们，只有多练习了。
目前有一种观点是，做题就该做典型题。这种观点很正确。可是随之又有一种说法就是，只要你掌握了一种题目的解法，那么无论题目怎么变化，你都会做！（所谓万变不离其宗）这句话我个人觉得很有误导性！！由这句话很多人得出一个结论，就是，这种题型我掌握了，所以我不怕了，考试的时候我一定会做，所以我可以不练了。前面还算正确，可是最后一句就太可怕了！！我会了，所以我不练了！多少人死在了这句话下啊！会了，能做对么？做不对，和不会又有什么差别啊？！（尤其是考试里面的选择填空题）你参加的是考试，不是面试，你需要得出的是正确的结果，而不是过程。你只有迈过了这座上，才能够说下一个境界的问题。如果你死在了这个山上，那还有什么好说的呢？因此，对于会做的题目，也需要练习，一是练习手感，所谓三天不练手生；二是反复有意识的操练，可以对题目的本质加深理解。所以，勿以题熟而不做！
保证每天有题做，不需要多，旨在帮助强化数学功底！

5一颗良好心态

如果你讨厌数学，要想学好，我觉得很难很难。因为你潜意识中已经对此很抵触了，所以看见数学，你马上做出了一些抵制的反应。所以，对这类人，我觉得你们要想喜欢数学不可能，不过希望能够调整自己，让自己不讨厌数学，这样学习起来就好多了。具体方法可以看一些趣味数学或者了解下数学史，不少数学名人也许会给你留下难以磨灭的印象。
对于对数学感觉一般的，就保持即可。如果可以调整自己渐渐喜欢上数学更好。
喜欢数学的我就不说了，因为你我都懂的！

6杂谈

这里谈谈学习数学的一些小技巧了。完全是个人的一些经验。
（1）难题遇见多思考。有些完全没思路的先看答案，然后分析答案，争取将答案的思路刻印在自己的脑海中，成为自己的东西。很多难题一遍是无法搞明白的，也需要反复看，反复想，和同学老师讨论也是行之有效的方法。不过注意，这里是讨论，而不是提问。注重的是对题目思考过程的研究而不仅仅是怎么做！
（2）多记忆一些小结论。有人觉得数学是理科，不应该记忆任何东西。我觉得这样说太片面了，因为应试，在有限时间里面答完那么多题目，每一步都需要自己推理的话是比较费神的，而且考场上还可能突然短路，所以这个时候小结论就可以帮你了。小结论有时候对做一些题目（尤其是选择填空）非常的有用，可以起到节省时间并增加准确率的功效，有时候甚至就是一道难题的突破口。所以处处留心皆学问啊！
（3）多对比。有些题目看起来很像，可是解法却完全不一样。于是这个时候就需要你去对比题目的差异了，到底是什么条件导致了两者如此大的差异呢？如果能够想明白，这说明你才真正掌握了那两个题目！说到这里，顺便说下对条件的审视的重要性。条件如果不读懂，题目无法做，这是很显然的。不过要想取得比较好的成绩，更需要细抠条件，比如题目告诉你f(x)不等于0，你就得想到，这个条件必须得用上，而且，其解答过程中很可能f(x)出现在分母。这样的条件反射不但可以帮助你迅速把握题目的一些关键，更增加你作出此题的信心，一举两得！
（4）整理错题。这个很多人都谈论了，我也不多说了。想强调一点，就是错题整理出来，一定要看，做，想。不能当成人物，而应该作为自己的一种习惯。
就这么多吧，大家如果还有啥疑问的，就提出来吧，不过这个帖子是证明题专题的帖子，所以大家还是把注意力放在证明题上哈！

[ 本帖最后由 LLLYSL 于 2010-8-21 23:52 编辑 ]

stone1667

强帖！！！！
先想问下，最后举得那个可以直接用结论的例子，极限是0不？别看了半天还错了……（糗大了，还真错了！）
我感觉差距主要就是在思维上。这道题来说我拿到了也是会做，但就像LZ一开始的解题说到的。。一眼看去，好像要用泰勒公式，那么来吧，一步步开始做，我刚才中间还真算错了，要不是证明题，就直接OVER了……
后面的方法就完全属于看你的解析能琢磨明白，自己就想不到这里，甚至包括第二种解法。是因为对知识没有形成系统吗？
（再次表达敬仰之情，你也是学生？能学成这样？我滴个娘来……）

[ 本帖最后由 stone1667 于 2010-8-22 01:14 编辑 ]

LLLYSL

原帖由 stone1667 于 2010-8-22 00:39 发表
强帖！！！！
先想问下，最后举得那个可以直接用结论的例子，极限是0不？别看了半天还错了……
我感觉差距主要就是在思维上。这道题来说我拿到了也是会做，但就像LZ一开始的解题说到的。。一眼看去，好像要用泰勒公式，那么来吧，一步步开 ...

很可惜，你算错了，题目是我自己编的，所以答案也是自己算的7/40.正确的可能性是99%吧。不过希望大家能够帮我增加到100%。
对于你算错，我觉得在平时要引起高度重视，不要以为无所谓，考试认真一点就可以了。算不对要再算直到对。不过你也不要太大压力，只要自己愿意多花功夫训练，计算能力会提高的。
这道题目本来是道计算题的，我把它变成证明题是降低难度了的。否则就如你说的那样，算错的可能性太大了！所以，对此我告诉你减小运算错误的方法有两种比较适用，一种是耐力型的，就是需要长期的训练，算错了再算，直到算对，这样是把你深层的一些运算陋习给克服，是提高运算能力的根本方法。其次就是一道题从不同角度分析，得出的结论理论上是一样的，所以，这个可以作为检验运算的一种工具。我高等数学下能够拿满分就是靠一题多解验证的，大题基本都用两种方法做出来了，答案一样。当时就知道自己答的非常好了，考场上也增加信心，是一种一举多得的利器！
然后你说第二种方法自己想不到，这确实说明在学习过程中总结少了。产生这样的原因可能有两个，一自己知识掌握的不扎实，所以对这个地方不敏感很正常；二是对这种问题没总结，所以再次看见以前的陈题，你感觉就像新题一样的。也就是说，你以前做这道题花费的时间和精力换取的是极低的效率（但不能说完全没有），以后做一类型题，要总结。最后达到什么境界是比较高的呢？就是看见张试卷上面的考题，你能一个不漏的说出每道题的考察点，这样，你就凌驾在了命题者之上，你想考差都难啊！！
PS：是学生，不过更是数学爱好者！

[ 本帖最后由 LLLYSL 于 2010-8-22 02:35 编辑 ]

厄齐尔

一向推崇数学牛人，先来占座，向楼主表达敬意！

windisle

楼主大牛~~~以后每天进来学习~~~~

dounaiman

你真的是大一学生么，看来我几年白学了[em:15]

crudeoil

[BAD CONTENT]

LLLYSL

原帖由 crudeoil 于 2010-8-22 10:38 发表
我自己感觉教材已经看的很透了，都快背会了。怎么我做题还老是卡壳啊，是自己思维僵化，不够发散？解卡之后马上做的很顺利，这是什么原因啊？有什么解决办法没有啊[em:15] ...

教材看透不等于理解透了，只有理解透，才算是真正掌握了知识。如果你的做题能力不够的话，需要多去练习，把书上的题目能够做的做一遍，最重要的是去思考和总结。并不是所有的东西你看了就能领会的，很多东西需要动笔算！

crudeoil

[BAD CONTENT]