有意思（11）线性代数的一个综合消化题

战地黄花

在做题的过程中，要积累一些知识含金量高，值得反复体味的题目。
        比如在《线性代数》中，第一个值得反复体味的题目是：“方阵A的秩与它的伴随矩阵A*的秩的关系？”
              线性问题的完美处理依赖于精妙的线性理论。线性理论的起点就是齐次线性方程组解集构造理论:
        “齐次线性方程组Ax = 0如果有一个非零的解向量，它就有无穷多个解向量。
        一个齐次线性方程组的全体解向量是n维向量空间的子集合. 它对于线性运算是封闭的。因而可以获得“向量空间”的称号。叫齐次线性方程组的解空间。
        齐次线性方程组 Ax = 0 解集的秩 = n-r (A)
              齐次线性方程组 Ax = 0 的解集是n 维向量空间的一个 n-r 维子空间。”
        我把"Ax = 0解集的秩 = n-r (A)"  称为“核心恒等式”。它惯穿《线性代数》教材始终。能否熟练地运用核心恒等式，是《线性代数》部分是否复习好了的重要标志
        为此目的，我在读本科时曾给自己编了一个题目：
        “若AB = E，则必有B = A* ∕ |A| ”         
              分析    由 AB = E 能得到什么信息？
         —→  A 与 B 皆满秩
           —→  以A为主体说话，A的行向量组线性无关。B是A的“右逆”
          你还能细化思考吗？这才是竞争力优势的体现！！！！！！！！！（这是“构造法”的思路。）
              —→  A的第一行 与 B的第一列α 的内积为1
                             —→  A的其它行 与 B的第一列α的内积都为 0
                 这就上了线性理论的高速路。即
                 —→ B 的第一列是齐次线性方程组 Q x = 0 的解向量。
          Q 是 A 划去第一行以后得到的矩阵。“线性无关，部分无关。”它的秩 r（Q）= n -1，   齐次线性方程组 Q x = 0的解向量集的秩 = 1
             （潜台词：熟练运用核心恒等式，就象闻到香味流“口水”。）
         由行列式展开定理知，|A| 的第 1 行元素的代数余子式组成的向量 ξ ，与其它各行都正交。因而它就是方程组Q x = 0的一个非零解向量。可以作其基础解系。（把它转置为列向量，仍记为 ξ ）
         这样一来，α = c ξ
              （潜台词：矩阵Q中保留着计算“|A|的第1行元素的代数余子式”所需的全部数据。尽管本题用不着，但应该知道）
         但是，由行列式展开定理知，A的第1行 与ξ的内积等于 |A|
               而由已知，A的第一行 与 B的第一列 α = c ξ  的内积为 1
               只有 c = 1 / |A| ，即 α = ξ / |A|
                下面该你来学着说：   —→ A 的第二行 与 B的第二列的内积为1
                                                                —→ A 的其它行 与B的第二列 的内积都为0
                                 ………………………………………………………………………………  
           一直说下去。
           最后就得到结论B= A* ∕|A| ，自然就可以核算BA=E ，右逆也是左逆！！！！

           这个题目也是一个知识含金量很高，值得反复体味的题目。

[ 本帖最后由 战地黄花 于 2010-7-26 08:05 编辑 ]

awisdom

顶起！战地老师的东西给我这个非专业的人很多感性认识！谢谢战地老师！

a86611291

顶起！愿老师早日完成所有作品！

战地黄花

请版主收进集子

wudihuanying

看了半天，总算基本看懂~

sdc2010

α = ξ / |A|  ！！！！很好。
不过AB = E是推BA=E的最简单思路么？感觉过程比结果受益更多

书间的红叶

写的真好！

神不笼统

看到好累。。。不过发现LZ很高深。。。。

261095965

顶起…老师又发贴子啦…十分感谢老师…祝老师身体健康

李广卿

好贴……