有意思（10）连续，可导，里普希慈条件

战地黄花

函数在一点连续，隐含函数在此点邻近有定义。
        函数在一点可导，则函数必定在此点连续。“可导”条件强于“连续”。
        函数在一点二阶可导，则函数的一阶导数必定在此点连续，且一阶导数在此点邻近有定义。
        函数在一点连续的充分必要条件是，（以此点为参照。）当Δx 趋于0 时必有Δ y 趋于0
              若函数 f (x) 在某区间内有定义，且对区间内任意两点 x1 ，x2 总有
                 ∣f (x1)-f (x2) ∣≤ C∣x1-x2 ∣，C为常数
就称函数f (x) 在该区间内满足里普希兹条件。
        此时，若任选区间内一点为中心点，自然有        ∣Δ y∣≤ C∣Δx ∣
       （潜台词：函数增量被自变量增量所控制。）
        这就表明，函数f (x) 必定连续。“里普希兹条件”强于“连续”。
        但是，进一步只能有 ∣Δ y / Δx∣≤ C  ，有界不一定有极限。满足里普希兹条件，不能说明函数可导。

        若函数f (x) 在某区间内可导，且导数有界，∣fˊ(x) ∣≤ M
则,    对区间内任意两点x1、x2，总可以运用拉格郎日公式得
                  ∣f (x1)-f (x2) ∣=∣fˊ(ξ)∣∣x1-x2 ∣，ξ在x1与x2之间
于是   ∣f (x1)-f (x2) ∣≤ M∣x1-x2 ∣，即函数f (x) 在该区间内满足里普希兹条件。
        综合上述，有
                “可导”条件强于“里普希兹条件”， “里普希兹条件”强于“连续”。

        有趣的是，函数f (x) 可不可能在某区间内满足下述条件呢？
        对区间内任意两点 x1 ，x2 总有
            ∣f (x1)-f (x2) ∣≤ C∣x1-x2 ∣的（1+α）次方  ， C，α 都是正常数
        此时，若任选区间内一点x0为中心点，自然有
              ∣Δ y∣≤ C∣Δx∣的（1+α）次方 ，即  ∣Δ y / Δx∣≤ C的α次方
令Δx 趋于0 ，可得  ∣fˊ(x0)∣= 0
              由点x0 的任意性知，在某区间内 ∣fˊ(x)∣≡ 0   ，即 fˊ(x)≡ 0，f (x) 必为常函数。
              逆向思维，这个条件太苛刻了。一般函数都不能满足它。
        一元微积分讲究条件，基本条件要记得准确。

wubingwinner

支持一个 刚刚拜读完 还要时间理解

agming

留个脚印，感谢老师~~

灰太男

顶起。楼主万岁

老牛一头

关于函数中的绝对值，每次题中出现后，很是头疼。。。。。。。唉。

kyltpy

感谢！

水门@鱼儿

真不错啊啊

水门@鱼儿

太好了太有用了

jocelyn52

谢谢楼主~

jackina

谢谢老师