有意思（9）一个极限题的多向思考

战地黄花

已知函数 f（x）满足  f（0）= 0 ，fˊ（0）= 0 ，f ″（0）> 0
                   x→0 时，求极限 lim  f（x）/ x fˊ（x）= ？
         思考1，中心点处有这么丰富的信息，赶快用泰勒公式试试
                f（x）=（f ″(0) /2）x ² + ο（x ²）
               f ′(x)  =  f ″(0) x + ο（x）     （潜台词：逐阶运用已知信息，基本技术。）
               原极限 = lim（（f ″(0) /2）x ² + ο（x ²））/ （ f ″(0) x ² + ο（x ²））
分子分母同除以 x ² ，（类型参看讲座（15）。）可算得原极限 = 1/2

              思考2，通常用洛必达法则对付抽象函数的极限，要先考查导函数的连续性。
        本题中，有三个思考点
          “ f ″（0）存在”，隐含 f ′(x) 在原点邻近存在，且 f ′(x) 在0点连续，可以用一次洛必达法则。
           一眼晃去，如果用一次洛必达法则，分母变两项，分子还是1项，故可以考虑倒过来求。
           用一次洛必达法则后，将出现 f ″(x) ，无法计算下去。
         （画外音：用洛必达法则的念头快，还是用中值定理，泰勒公式的念头快，这是水平的标志之一。）

        思考3，条件很强的“双特殊情形”啊，能否用导数定义？
            原极限 = lim （f（x）/x）/ fˊ（x），不行！非零的因式才能先取极限。何况分母还是0极限。
           如果分子分母再同除以 x ，那分母就可以对 fˊ（x）在0 点用导数定义。分子又怎么办呢？
           这时，“分子”为  f（x）/x ²，用一次洛必达法则后，与分母一样处理就行了。

           请比较。泰勒公式最深刻，过程最简洁。
           在清晰的基本概念，基本理论，基本方法状态下思考。这是提高的关键。

[ 本帖最后由 战地黄花 于 2010-6-12 12:10 编辑 ]

皮哥来考研

请楼上的同学用数学编辑器，否则看起来很麻烦，你问的问题我都看不清楚，很难给你回答啊

为梦行

好贴！！！！！！！！！！！！

有无之境

果然精彩，基础才是王道，楼主威武！

风舞二戒

分析精彩，LZ我初来乍到，发现您十分威武啊，好多研友的题都是你讲的，佩服之至！！

断水云殇

很是一个强。唉…

slyvia妍

谢谢老师！学习了！

fyy428

f ′(x)  =  f ″(0) x + ο（x）     （潜台词：逐阶运用已知信息，基本技术。）

这一步太精妙了

还有这句话 真是点睛之笔  非零的因式才能先取极限

hungry。

讲得好 受教了

剑雨々飘香

为什么非0的因式才能取极限，能证明下吗？谢谢啦