考研数学讲座（18）泰勒公式级数连

战地黄花

中值定理是应用函数的导数研究函数变化特点的桥梁。中值定理运用函数在选定的中心点x0的函数值、导数值以及可能的高阶导数值，把函数表示为一个多项式加尾项的形式。再利用已知导函数的性质来处理尾项，对函数做进一步讨论。
        中值定理的公式（可微分条件，有限增量公式，泰勒公式,……  ）都是描述型的数学公式。
        描述型的数学公式并不难学。什么条件下可以用什么样的公式描述，你记住公式，完整地写出来不就行了。公式中的“点 ξ ” 理解为客观存在的点。

        在选定的中心点x0，函数的已知信息越丰富，相应的泰勒多项式与函数越贴近。
        1.“ 微分是个新起点” —— 若函数 f（x）在点x0可微，
                Δy = f ′(x0)Δx +ο(Δx)   ；其中，ο(Δx)表示“比 Δx 高阶的无穷小。”
则函数实际上就有了一个新的（微局部的）表达式：
               f（x）= f (x0) + f ′ (x0)(x-x0) +  ο(Δx)        （ ο(Δx)  尾项，比Δx高阶的无穷小）
       （潜台词：只有|Δx |充分小，“高阶无穷小”余项才有意义。）
        历史上，这个表达式称为，“带皮阿诺余项的一阶泰勒公式”。

        2. 拉格郎日公式 —— 若 函数f (x)在闭区间 [a，b] 上连续，在（a，b）内可导，则（a，b）内至少有一点 ξ ，使得           f (b)-f (a) = f ′(ξ)（b-a）
        定理说的是区间，应用时不能太死板。在满足条件的区间内取任意两点，实际上也组成一个（子）区间。
        比如，在区间内任意选定一点x0，对于区间内任意一点x，（任给一点，相对不变。）也可以有
                      f (x) - f (x0) = f ′(ξ)（x-x0），ξ 在 x 与 x0 之间，
       （潜台词：任意一点 x ，对应着一个客观存在的“ 点 ξ ” ， ξ = ξ（x） ）
即                   f（x）= f（x0）+ f ′(ξ)（x--x0） ，ξ 在 x 与x0 之间，

       3.    泰勒公式 —— 如果函数在点x0邻近有二阶导数
             f（x）= f（x0）+ f ′(x0)（x - x0）+ （f ″(ξ) /2）（x - x0) ²  ，ξ 在 x 与x0之间
式中的尾项叫拉格郎日尾项。有时也把 ξ 表示为   x0 + θ(x - x0) ，0<θ＜1
              一般情况下，我们无法知道  ξ = ξ（x）的结构、连续性等，只能依靠已知导函数的性质来限定尾项，实现应用目的。
              如果函数在点x0二阶可导，我们可以用高阶无穷小尾项（皮阿诺余项）
             f（x）= f（x0）+ f ′(x0)（x - x0）+ （f ″(x0) /2）（x - x0）² + ο（|Δx| ²）

         泰勒系数 —— 如果在点x0邻近 f（x）n+1 阶可导，则有泰勒系数
                 f（x0） ，f ′(x0) ， f ″(x0) / 2！ ，f ′ ″(x0) / 3！ ，……
可以写出，    f（x）= n次泰勒多项式 + 拉格朗日尾项

          4.  泰勒级数 —— 如果在点x0邻近 f（x）无穷阶可导，不妨就取 x0 = 0 ，则利用泰勒系数可以写出一个幂级数
                 f（x）= f（0）+ f ′(0) x +（f ″(0) /2）x ² +（f  ′″(0 ) / 3！）x ³  + ……
这个幂级数的和函数是否就是 f（x）呢？不一定！
       （画外音：太诡异了，f（x）产生了泰勒系数列，由此泰勒系数列生成一个幂级数，它的和函数却不一定是      f（x）。就象鸡下的蛋，蛋孵出的却不一定是鸡。）
        关键在余项。当且仅当 n → ∞时，泰勒公式尾项的极限为 0 ，f（x）一定是它的泰勒系数列生成的幂级数的和函数。称为 f（x）的泰勒展开式。
        验证这个条件是否成立，往往十分困难。故通常利用五个常用函数的泰勒展开式，依靠唯一性定理，用间接法求某些别的函数的泰勒展开式。
              美国的学生特别轻松，他们的大学数学教材很有创意，早在极限部分就要他们当成定义记住指数函数与正弦函数的泰勒展开式。
                  exp（x）= 1 + x + x ² /2！+ x ³ / 3！+ ……           -∞<x<∞
                            sin x = x -  x ³ / 3！ + ……                 -∞<x<∞
             （逐项求导，   cos x = 1 -  x ² / 2！+ ……             -∞<x<∞）
此外还有                 ln（1+x）= x - x ² /2 + x ³ /3  + ……            -1<x< 1
                              （1+x）的μ次方 = 1 + μ x +（μ (μ－1) / 2！）x ² +（μ(μ－1)(μ－2) / 3！）x ³ + ……
                         1/ (1-x)  = 1 + x² + x³ +  ……               -1<x< 1，上同

        泰勒公式基本应用（1）—— 等价无穷小相减产生高阶无穷小。
                  关键在于低阶项相互抵消。应用泰勒公式直接有  ，x→ 0 时，
                        exp（x）- 1  ~ x   ， exp(x)-1-x  ~  x² / 2
                                 sin x ~ x   ，       sin x - x   ~  - x ³ / 3！     ， cos x -1  ~  - x ² / 2      
                          ln（1+x）~  x  ，      ln (1+x) - x  ~  - x ² /2
                                    （1+x）的μ次方－ 1 ~ μ x
                例87  已知x→ 1时，lim(√(x³+3) - A - B(x -1) - (x -1) ² ) / (x -1) ² = 0 ，试确定常数，A，B，C
               分析   已知表明 x→ 1时，分子是较分母高阶的无穷小。
         题面已暗示，应将函数 y =√(x³+3) 在点 x = 1 表示为带皮阿诺余项的泰勒公式，且必有   
                     常数项 = A         一次项系数 = B          二次项系数 = C
低阶项相互抵消，分子为高于二次方级的无穷小。
        于是         A = y(1) = 2 ，B = y ′(1) = 3/4  ，C = y″(1) / 2 = 39/64
             （画外音：有的人一遇上这类题就想用洛必达法则，这在逻辑上是错的。不懂得无穷小的变化机理。
                  如果只有两个参数，可看讲座（9）。）
        泰勒公式基本应用（2）——带皮阿诺余项的泰勒公式用于求极限
              例88    若 x→ 0 时 ，极限 lim ( sin6 x+ f（x）) / x ³ = 0  ，则
                                      x→ 0 时，极限 lim ( 6 + f（x）) / x ²  =  ?                 
                 分析    分子有两项。决不能把 sin6 x 换为 6x ，
         （潜台词：sin6 x 不是分子的因式 ，是分子的一项。）
         这时正好用“带皮阿诺余项的一阶泰勒公式”， sin 6x = 6 x - （ 6x) ³ / 3！+ ο（|Δx| ³）
代入已知极限，移项得    lim ( 6 + f（x）) / x ²  = 36

               例89   设函数 f (x) 在 x = 0 的某邻域内有连续的二阶导数，且 f (0)≠0，f ′(0)≠0，记
                  F(h) = λ1 f (h) + λ2 f (2h) + λ3 f (3h) 一 f (0)，
         试证，存在唯一的实数组λ1，λ2，λ3，使 h → 0 时，F(h) 是比 h ² 高阶的无穷小。
            分析  讨论极限问题，有高阶导数信息，先写带皮亚诺余项的泰勒公式
                 f（x）= f（0）+  f ′(0) x + （f ″(0) /2）x ² + ο（|x| ²）
         这是函数 f（x）的一个新的（微局部的）表达式，当然可以表示 f (h) ， f (2h)， f (3h)
                               f (h) =  f（0）+  f ′(0) h + （f ″(0) /2）h ² + ο（| h | ²）
                   f (2h) =  f（0）+  f ′(0) 2 h + （f ″(0) /2）（2h）² + ο（| h | ²）
                     f (3h) =  f（0）+  f ′(0)3 h + （f ″(0) /2）（3h）²+ ο（| h | ²）
         （潜台词：常数因子不影响尾项。）
         将各式代入F(h),整理得
         F(h) = ( λ1+λ2+λ3一1) f（0）+ ( λ1+2λ2+3λ3) f ′(0) h + ( λ1+4λ2+9λ3) f ″(0) h ²/2 + ο（| h | ²）
         要让 h → 0 时，F(h) 是比 h ² 高阶的无穷小。，只需令上式中的常数项及 h 和 h ² 项的系数全为0 ，这就得到未知量 λ1，λ2，λ3 的一个齐次线性方程组，它的系数行列式是三阶的范德蒙行列式，其值不为0，故可以相应算得唯一的一组λ1，λ2，和λ3
                泰勒公式基本应用（3）——带拉格郎日尾项的泰勒公式用于一般讨论
               例90 —— 凸函数不等式
         如果函数f (x) 二阶可导且二阶导数定号，（称为凸函数），则应用泰勒公式可以得到不等式              
                   f (x)≥（或≤）f（x0）+ f ′(x0)(x-x0)
                实际上   f（x）=  f（x0）+ f ′(x0)(x-x0)+ (f ″(ξ) /2 ) (x-x0) ² ，ξ 在x与x0之间
         设 f ″(x)> 0 ，自然有 (f ″(ξ) /2 ) (x-x0) ² > 0 ，舍掉此项就得到不等式。
        *例91    函数 f (x) 在 [-1，1] 上有连续的三阶导数，且 f (-1) = 0 ，f (1)=1，f ′(0) = 0，试证明在区间 内至少有一点 ξ  ，使得  f ″′(ξ) = 3
               分析  选中心点 x0 = 0 ，在区间内讨论，写出带拉格郎日尾项的泰勒公式
              f（x）= f（0）+（f ″(0) /2）x ² +（f ′ ″(η ) / 3！）x³    ,    η 在 0 与 x 之间
         既然这是 f (x) 的又一个表达式，当然可以代入x = -1 , 1 ，它们分别相应有ξ 1，ξ 2
                         0 = f（-1）= f（0）+（f ″(0) /2）(-1)² +（f ′″(ξ 1 ) / 3！）(-1) ³ , -1<ξ 1<0
                         1 =  f（1）=  f（0）+（f ″(0) /2）1² +（f ′″(ξ 2) / 3！）1 ³   ,   0 <ξ 2< 1
                 到了这一步，仔细观察发现，两式相减，能得到只剩下有关三阶导数值的表达式。
                         f ′″(ξ 2)  +  f ′″(ξ 1 )  =  6
                 或着两个三阶导数值都等于3 ，本题得证。
          或者它们一大于3 ，一小于3 ，而函数 f ″′(x) 连续，可以应用介值定理完成本题证明。

[ 本帖最后由 战地黄花 于 2010-6-9 20:33 编辑 ]

wubingwinner

老师谢谢啦！ 刚刚拜读完了！收获不少噢 期待您的下次更新

hogwash

板凳？[em:42]

吾aiYY

呵呵，之前不懂那些等价无穷小怎么来的，看了终于明白了~~~

koggg

例88好像有问题

战地黄花

例88题面的 f（x）项，应为 x f（x），少写了个x
谢谢。

fadinglover

这个应该还是看书好吧

alexchao

吾aiYY 发表于 2010-10-27 09:19
呵呵，之前不懂那些等价无穷小怎么来的，看了终于明白了~~~

不知道你说这句话什么意思，好像等价无穷小，不需要泰勒就可以推导出来吧。lim（sin X）/x=1（x-->0）就是其等价无穷小的依据，而此处用的是夹逼准则

aideluz

顶起

lshf92

好