有意思（8）逻辑推理与一个正交问题

战地黄花

如果你作了一个假设，你就建立了逻辑推理的一个基本点。如果你还要作第二个假设，那得小心思考，新的假设是否与第一个假设独立。      
        一个同学在论坛上发贴，先设“对任意x，总有 f（x）>x ”，推出“f（f（x））>f（x）”，突然又假设“f（x）单减”，然后就不明白，“为什么会矛盾”。这就是没考虑逻辑，随意作第二个假设造成的。
        数学历史上，正当人们陶醉于“集合理论”与“勒贝格积分”等成果的完美之际，“悖论”的出现给大家当头一棒，砸得人晕头转向。仿佛有世界末日来临的感觉。以至于对很多成功的“公理化假设”也提出怀疑：“是否在筑好篱笆之时，已经圈进了狼？”            
         思考“第二假设是否与第一个假设独立”，有时的确较为困难。
看一个线性代数问题。
       （讲座（40））例15  设n维行向量组 a1，a 2，---，a k 线性无关，k<n ，以它们为系数作有k个方程的齐次线性方程组。若向量β是这个方程组的非零解。试证向量组 a1，a 2，---，a k，β 线性无关。
        例15是原数学四的考题。它可以深化为，
        *例 “设向量组 β1，β2，---，βr 线性无关，向量组ξ1，ξ2，---，ξ k 线性无关。若前一向量组的每一个向量都与后一向量组的各向量正交。则两向量组的合并组线性无关。（暂时不写一个条件）
        证明   设有一组数C1，……，C r ，C r+1，……，C r +k，使得
                C1β1 + ……+ C rβr + C r+1 ξ1 + ……+ C r + k ξ k = 0
                        用 β1 对等式两边作内积，得   β1ˊβ1 C1 + …… + β1ˊβr C r = 0
                        用 β2 对等式两边作内积，得   β2ˊβ1 C1 + …… + β2ˊβr C r = 0
                                                            ……     ……
               用 βr 对等式两边作内积，得   βrˊβ1 C1 + …… + βrˊβr C r = 0
                 现在，问题归结为，证明这个齐次方程组仅有零解。

       问题延伸1，若记 A =（β1，β2，---，βr），则系数矩阵恰为 AˊA
                          （潜台词：矩阵乘法，“左行右列作内积”）
           问题延伸2， 秩R(A) = 秩R(A ′A)
                     证明  作齐次线性方程组 AX = 0  和 A ′AX = 0  ，AX = 0 的解显然都是 A ′AX = 0 的解。      
            如果列向量 β 是 A ′AX = 0 的解，则
                      内积  (Aβ)′(Aβ) = β′A ′Aβ = β′(A ′Aβ)= 0
     这说明 Aβ= 0(向量), 即 A ′AX = 0 的解也都是 AX = 0 的解。两方程组同解。
            解集秩    n - R(A) = n - R(A ′A)       故   秩R(A) = 秩R(A ′A)
                前述关于C1，……，C r 的齐次方程组仅有零解。带回假设式，由后一向量组的线性无关性知其余系数也全为零。故两向量组的合并组线性无关。
        （画外音：这是一个可以记住的结论。请体会证明的特色 。）
         好象什么问题都没有？！？！？！联想“n + 1 个 n 维向量线性相关。”这里还有向量个数问题。在没有限定向量个数时，第二个假设，“前一向量组的每一个向量都与后一向量组的各向量正交”，不一定成立。必须先说“k + r ≤ n”
           这个条件不影响证明。有点复杂。慢慢体会。

[ 本帖最后由 战地黄花 于 2010-6-6 08:20 编辑 ]

cohesive

果然是高手。。。。。。。。。。。拜拜教授

agming

拜读教授~~~

zsc_beyond

[em:42]

骑牛看夕阳

现在还没复习到现代啊，看起来很吃力

骑牛看夕阳

老师的讲义都再哪能找到啊

wlkaoyanzixun

这是在干嘛！

menmen60

拜读

chenxiaoaa

谢谢分享

雨季の怀柔

复习经验，技巧在哪里？







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