考研数学讲座（47）特征理论起点高

战地黄花

《线性代数》的第二板块是“方阵谱理论基础知识”。中心问题是“方阵A与对角阵相似的充分必要条件。
        人们用“光谱分析”方法来识别材料。我们把“特征理论”又称为“谱理论”。是感到矩阵的特征值是其深层次的标志。在各类应用中，如“层次分析法”（AHP）等，矩阵特征值都起着关键作用。
      （画外音：知道“光谱”吗？灯谜“光谱，（打一国名）。”谜底，以色列。不同的材料一定有不同的光谱。）

         1.方阵的特征值与特征向量
              定义 —— 设A是n阶方阵，若有非零向量α数λ，满足Aα=λα，则称λ是A的特征值，α是A的属于特征值λ的特征向量。
        由于 Aα=λα  即 （A-λE）α= 0 ，齐次线性方程组 （A-λE）x = 0 有非零解α，（其系数矩阵的列向量组线行相关。）其系数行列式必为0
              |A-λE | = 0是关于未知量（A的特征值）λ的一元n次方程。
        代数基本定理 ： 一元n次方程在复数域内有n个根。其中k重根算k个根。
       （画外音：哇噻。真牛啊！一个定义给出两个概念，定义中还隐含着算法。）

         多项式 f（λ）=|A-λE | 称为方阵A的特征多项式。在复数域内有
         f（λ）=|A-λE |=（-1）n次方（λ－λ1）（λ－λ2）……（λ－λn）
         由方程|A-λE | = 0解出A的n个特征值；对每个特征值λ分别解（A-λE）x = 0，全体非零解组成A的属于λ的特征向量集合。
        *数学一的考生要知道高级语言，“A的属于λ的特征向量 + 0向量”称为A的属于λ的特征向量子空间。
       （潜台词：烦啊！要解一个一元n次方程，还要解n个齐次线性方程组。）
         从向量的角度看待定义式  Aα=λα，即向量 Aα∥λα，两个向量对应的分量成比例，比值就是λ
                特征值与特征向量定义的几何意义，一度成为研考的考点。其基本逻辑为
         Aα=λα  ——→ Aα∥α  ——→ 两个向量的对应分量成比例 —→
                        ——→ n个分量得到n-1个方程 ——→最多可以确定A或α中的n-1个参数。
       （画外音：你有这样的观念了吗？一眼看去，Aα就是个向量。）

         例62  方阵A可逆，且A的每行元素和都等于α，证明逆阵 Aˉ¹ 的每行元素和都等于1/α
               分析  题面有点吓人，实际上只是个游戏。
         如何能得到“每行元素和”？玩熟内积的人会想到列向量 β=（1，1，---，1）ˊ，让它与矩阵的行向量与作内积，就相当于把行向量的各分量相加。即作矩阵乘法得
            Aβ=（α，α，---，α）ˊ=α（1，1，---，1）ˊ
             （潜台词：（n×n）×（n×1）=（n×1））
         这表明α是A的特征值，β是A的属于特征值α的特征向量。
         等式两端同时左乘以矩阵与数1/α，得  
            Aˉ¹β=(1/α)β=（1/α， ---，1/α）ˊ，即 Aˉ¹ 的每行和都等于1/α  

               特征值的“传递”算法 ——
           由特征值和特征向量的定义可以推证得
          （1）        如果方阵A满秩且λ是A的一个特征值，则
                        1/λ是矩阵（A逆）的一个特征值；|A|/λ是其伴随矩阵A*的一个特征值。
          实际上，若A可逆，且A有特征值λ，则有数λ及非零列向量α成立关系式
            Aα=λα —→ α=λAˉ¹α —→Aˉ¹α = α/λ—→|A| Aˉ¹α = |A|α/λ —→  A*α =（|A|/λ）α
                  还有进一步的定义游戏。
           (2)   若   Aα=λα，则  A²α= A Aα= Aλα= λAα=λ²α
                                                                   (A²+ 2E)α=(λ²+2)α               ……
          一般地说，设φ(t)是个多项式，把 t 换为方阵A，常数项添加单位矩阵E，就得到多项式矩阵 φ(A)；
          若Aα=λα，则φ(A)α=φ(λ)α，即      若A有特征值λ，则多项式矩阵 φ(A)有特征值φ(λ)。
          (1)与(2)是再好不过的定义游戏.我把它们称之为“特征值的“传递”算法”。
           最最重要的是，在以上多种传递方式中，相应的特征值有相同的特征向量。
          （画外音：在传递过程中，特征向量就象是“陪嫁物”一样被传送了。）

           例63  已知四阶方阵A 满足 |√2E + A|=0，且 AAˊ = 2E，|A|<0，则 A的伴随矩阵 A*  有一个特征值为（ ？ ）
          分析  |√2E + A|= 0   即  | A-(-√2)E |= 0 , A有特征值 λ= -√2
                                由 AAˊ = 2E 两端取行列式，得 |A|² = 16  ，|A|=-4 ，答案 |A|/λ = 2√2

                 2.特征值与特征向量的性质
         （1）属于不同特征值的特征向量线性无关。
         （2）|A|= A的n个特征值的连乘积。
         （3）可逆阵的特征值都不为0
                教材上都不证明（1）。对于数学一的考生来说，特殊情形“若n阶方阵A有n个单特征值，试证明属于不同特征值的特征向量线性无关。”是一个不错的练习题。
         由于f（λ）=|A-λE |=（-1）n次方（λ－λ1）（λ－λ2）……（λ－λn）
令      λ= 0，就有  |A|=λ1λ2……λn  ，这就说明了（2）和（3）

         众所周知，|A+B|难解。有了A的n个特征值，我们可以计算 |多项式矩阵 φ(A)|
                例64     已知三阶方阵A 的特征值为 1，2，3 ；求 |2A²－A|，|A-5E|
                分析  A有特征值1，2，3；则2A²－A 有特征值 1，6，15，|2A²－A|= 90
                           A有特征值1，2，3；则A-5E有特征值   -4，-3，-2，|A-5E|=-24
                例65   A的属于不同特征值的特征向量，其线性组合一定不是特征向量。
         分析  不仿把问题简化。设λ1，λ2是A的特征值两个不同的特征值。ξ1与ξ2分别是其特征向量。
       （反证法）若 αξ1+βξ2 是A 的特征向量，则它要属于某个特征值λ，且由定义有
           A（αξ1+βξ2）=λ(αξ1+βξ2)，     去括号得            αλ1ξ1+βλ2ξ2  =αλξ1+βλξ2
即            α（λ1－λ）ξ1 + β（λ2－λ）ξ2 = 0
                属于不同特征值的特征向量ξ1与ξ2 线性无关，只有 λ1=λ=λ2      矛盾。
         (画外音：也可以先说，“若 αξ1+βξ2是A的特征向量，则ξ1，ξ2，αξ1+βξ2线性相关，从而αξ1+βξ2只能属于特征值λ1或λ2，……)

               3.属于重特征值的特征向量集的秩
          属于重特征值的特征向量集的秩，这是本部分的重点和难点。
         （1）每个单特征值都有属于自己的特征向量集。且 相应的特征向量集的秩 = 1
                （潜台词：（A-λE）x = 0解集秩 = n- r(A-λE) = 1）
           这样一来，如果λ是n阶方阵A的单特征值，则有“反控制”： r(A-λE)= n-1)
                 （2）对于A的重特征值，只有结论：
                     “k重特征值相应的特征向量集的秩 ≤ 特征值的重数”
               （潜台词：先要搞清楚重特征值的特征向量集的秩，才有“反控制”计算r(A-λE)。）
          在微分方程理论中，我们把“k重特征值相应的特征向量集的秩 < 特征值重数”的情形。称为“重特征值有亏损”。
           “重特征值有亏损”的后果会自然体现在中心定理内。即A不能与对角阵相似。
            一个推理游戏 ——
                      设三阶方阵A有3重特征值λ，且λ不亏损。—→  属于λ的特征向量集的秩 = 3
                                                                          —→（A-λE）x = 0解集秩为3
                                                            —→ 因为（（A-λE）x = 0解集秩）= 3-r (A-λE)，故只有r (A-λE) = 0
                                                  —→ 只能A =λE
                      逆向思维：太特殊了！不这样就必然要亏损。  “重特征值有亏损”，应该是常有的事。

          例56 已知非零的n维列向量α与β正交。作方阵A = αβˊ，求A²及A的特征值与特征向量。
          分析  求A²是个提示。  A² = αβˊαβˊ=α（βˊα）βˊ= 0（矩阵）
         （画外音：左行右列作内积，左列由行得矩阵。（n×1）（1×n）= n×n ）
           零矩阵只能有n重0特征。进而A也只能有n重0特征。
           此时，解齐次线性方程组 （A-λE）x = 0  即解     A x = 0
                   以下是解齐次线性方程组的标准程序：（画外音：记熟了，就有上“高速路”的感觉。）
           由矩阵乘积秩定理，显然有r (A)=1，故，解集秩 = n-1，且只有一个方程是独立的。
           又不仿设 α1β1≠0 ；选第一个方程  α1β1 x1+ …… +α1βn x n = 0  来计算。
           将自由未知量组（x 2，------， x n ）ˊ 取为n-1 维向量的标准正交组，逐一代回这个方程，解出x1，再回头将x1添入到标准正交组各向量作第一分量，就得到基础解系。
                 ξ1 =（β2/β1，1，0，……，0）ˊ，ξ2 =（β3/β1，0，1，……，0）ˊ，
                                       ……，     ξ（n-1） =（βn/β1，0，0，------，1）ˊ
           特征向量  ξ = C1ξ1 + C2ξ2 +------，+ C（n-1）ξ（n-1）  ；系数不同时为0
                （潜台词：n重0特征的特征向量集的秩为n-1，有亏损！）

又是定义游戏；又要知道点一元n次方程基础知识。又要熟练地运用齐次线性方程组解集构造理论，快速地求出基础解系；还需要理解重特征值可能的“亏损”。特征理论的起点高啊。

老牛一头

战地黄花，昨年我就在关注你了，你到底是谁？？？？？

wubingwinner

一位很好的教师 谢谢他啦 我尊敬的战地老师

fll514

好贴，M