考研数学讲座（78）分布函数是核心

wubingwinner

分析的好透彻呀！

0706390107

好好啊，楼主高人！

裆下有枪

挺透彻的~

漠漠么

0概率事件不一定是不可能事件”，受教！谢谢！

1045290037

教授辛苦了  感谢

wlkaoyanzixun

很不错！

涵筱楹瑜

ding ding ding

mynextstop

好~！

Miss_珍小妮

马克哦！

战地黄花

分布函数是大学数学概率部分的核心概念。
       “分布函数”本值上是按照一个特定方式来计算与描述随机变量事件的概率。
              随机变量的分布函数 —— 设X是一个随机变量，定义其分布函数F(x)为：
                                对任意实数x ，x —→ F(x) = P (X ≤x)
             如果 X 是离散型随机变量，则分布函数  F(x) = P ( X ≤ x)  = 不超过x的那些点的概率和
        如果X 是连续型随机变量，其概率密度函数为 f (x) ，则分布函数为
                    F(x) = P ( X ≤ x)  =  f (x)在(-∞,x ]上的积分         (变上限广义积分)
             由概率的性质可知，F(x) 非负不减。且
                       x →-∞ 时    lim F(x) = 0   而   x → +∞ 时   lim F(x) = 1
            （画外音：有趣的是，定义分布函数 F(x) = P ( X ≤ x)  ，是美国及西欧发达国家所采用的方式。前苏联等用的是F(x) = P ( X < x) 。我们的大学教材早期大都承接于前苏联，为什么会用这个定义，倒是个谜。）
        人们通常把离散型随机变量 X 的取值点称为它的概率质点。即把概率比喻为总和为 1 的质量。
        显然，在第一个质点左边，F(x) = 0 ；在相邻两个质点之间，F(x)为常数，其值恒等于左端质点处的函数值。函数图形为水平线段。从左向右一直到右端质点处，函数才获得一个增量，即该点所分布的概率质量。这样一来，从质点x0左侧到右侧，图形出现一个跳跃间断。分布函数F(x) 显然是右连续的“台阶函数”。
        我们可以写出，    F(x0) =  F(x0-0)+ P(x0)  或  P(x0) = F(x0)-F(x0-0)
              已知离散型随机变量X的分布函数时，算出每个间断点处的概率质量，就得到分布列。

        对于连续型随机变量，由于密度函数 f (x) 非负可积，从几何角度看， F(x) 是通常意义的变动面积函数，自然是连续函数。   
       （潜台词：任选一点观察，Δx → 0 时，必有 Δy → 0 ）
        对于每一个基本点x0 ，P(x0) = F(x0)-F(x0-0)= 0 ；这是连续型随机变量的本质标志之一。也是“0概率事件不一定是不可能事件”的例证。
        如果已知连续型随机变量 X 的分布函数，按照定义，它的导数就是 X 的密度。
        如果分布函数是分段定义的，那就在各段分别求导。定义分界点可以不管。得到分段定义的密度函数。

       （画外音：喜欢口诀吗。分布函数“非负不减右连续，左趋于0右趋1 ”）

       例38     设F1（x）与F2（x）分别是随机变量X 1与X 2的分布函数。为了使得函数F(x) = a F1(x)-b F2 (x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取
                （A） a = 3/5  ,  b =-2/5       （B） a = 2/3  ,   b = 2/3
                            （C） a = -1/2  ,  b = 3/2      （D） a = 1/2  ,   b =-3/2
                 分析  由题设应有  x → +∞ 时  lim(aF1(x)-b F2(x)) = a-b = 1   应选（A）。
          例39  已知随机变量X有密度函数 f (x) =（1/2）exp（-|x|），求X的分布函数
          分析  本题考查分布函数定义，连续型随机变量定义，与高等数学计算，即求由分段函数产生的变上限函数解析式。
         （潜台词：任给一点，视为定数，积分得到函数值。是否分段，给前考虑。）
          f (x)是分段函数，原点是定义分界点。要分段计算。
           x≤0时，f (x) = (1/2)exp(x)          ， F (x) =  f (x)在(-∞,x ]上的积分 = (1/2)exp(x)
                   x>0时，f (x) = (1/2)exp(-x)，f (x) 在(-∞,0 ) 与 (0，x ]上有不同定义，故
                                           F (x) =  F(0) + P（0<X≤x）= 1-(1/2)exp(-x)

                还有既不是离散型也不是连续型的随机变量。
         *例40      设随机变量X的绝对值不大于1；且P（{X = -1}）=1/8，P（{X = 1}） = 1/4 ；在事件{-1<X<1}出现的条件下，X在（-1，1）内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比，试求
         （1）X的分布函数F（x）= P (X ≤ x)   ；    （2）X取负值的概率p
                 分析  随机变量X有概率质点X = -1与X = 1，但概率质量又不完全分布在质点上，因而它既不是离散型随机变量，也不是连续型随机变量。所以题（1）中特别告诉你，它的分布函数定义同样是F（x）= P (X ≤ x)
                 我们按照定义计算，先考查并给出 F（x）= 0 及F（x）= 1的最特殊段。
         （1）任给一点x ，显然有x<-1时，F (x) = 0 ；而  x≥1  时，F (x) = 1
                         -1<x<1  时，F (x) = P(X<-1) + P (X = -1) + P(-1<X ≤x) = 1/8 + P(-1< X≤ x )
                （画外音：不要忘了，分布函数是概率的特殊描述。逆向思维，求分布函数就是算概率。
                    在这里还有，P(X<-1) = F（-1-0） ）
         设比例系数为k，已知条件概率可以表示为 P（(-1< X ≤ x )∣{-1<X<1} ) = k（x+1）
         x 无限靠近 1 时这个条件概率应该趋于1，因而可以确定 k =1/2
                另一方面，由条件概率定义  P(AB) = P(B) P(A∣B) ，且 P({-1<X<1}) = 5/8   ，  
而       事件 (-1< X ≤ x ) 与 {-1<X<1} 的交就是 (-1< X ≤ x )
故              P(-1<X ≤x) = P({-1<X<1}) (x+1)/2 = 5 (x+1)/16
              （潜台词：由已知条件算得条件概率P(A∣B)，由条件概率定义得到P(AB)。）
最终得     -1<x<1  时， F (x) =1/8 + 5 (x+1)/16
                （2） P (X<0) = F(0-0) = 7/16

               典型计算与算法 ——“分布函数法”
                已知随机变量X的密度（或分布）函数，用“分布函数法”求随机变量 g (X) 的分布密度。这是程序化的典型计算。是考研试题的一个重点题型。
         例41     已知随机变量X有密度函数 f (x) =1/π(1+ x²), 求随机变量 Y = 2X 的密度
           分析  尽管是简单的线性函数，也得按定义及标准步骤来计算
           经观查没有分布函数为0或为1的最特殊段。
           任给一点y，（视为定数），分布函数 G (Y) = P (Y ≤ y) = P (2X ≤ y) = P (X ≤ y/2) = F(y/2)
                    问题经过反函数变化已经转换为计算X的分布函数。
                 f (x)在（(-∞, y/2 ]上积分   得  G(Y) =（arctg（y/2）+π/2）/π
求导得      Y = 2X的密度函数   g (y) =1/π(4 + y ² )
                   例42   随机变量X有概率密度f (x)，x≥0时，f (x) = exp(-x)，x < 0时 f (x) = 0，求随机变量Y = exp(X)的概率密度。
           分析  Y = exp(X) ，故X < 0  时 Y <1 ， 对应的密度函数 g（y）= 0
                   在（1，+∞）上任给一点 y  ，（视为定数），
分布函数            G (Y) = P (Y ≤ y) = P (exp(X) ≤ y) = P (X ≤ ln y ) =1-1/y
                   1≤ y< +∞时，Y的概率密度为  g（y）=1/ y ²

[ 本帖最后由 战地黄花 于 2010-5-24 07:25 编辑 ]