考研数学讲座（77）数字特征知根底

战地黄花 · 发表于 2010-5-22 07:40

为了量化研究，人们在样本空间上建立基本点与数之间的一一对应关系，记为X或Y，…… ，称为随机变量。
   研究随机变量，一个重要的着眼点是，随机变量取值的分布状况。
   测量某个客观存在的数据，测量结果必定有误差。测量结果是随机变量。通常我们会多测几次，以几次数据的平均值为测量值。这个极其普通的作法，却恰好满足一个优化条件。
《高等数学》知识告诉我们，优化问题：
      “已知数a的n个近似值，x1，x2，……，x n，求x0，使其与这n个值的平方平均误差最小。”即
                     Min{（x-x1）²+（x-x2）² + --- +（x-x n）²}
的答案就是这n个数的平均值。
   之所以给偏差以平方，是要避免正负相消而失真。
   （画外音：请联想随机变量的均值，请比较这个优化条件与随机变量方差的定义。）
   在有n个指标集的评价问题中，给每个单项指标打一个分数，x1，x2，---，x n ；如果要进一步考虑各个指标的重要性，就不会简单地给一个平均分，而是先给各个指标赋“权”。即给出总和为1的n个正小数，p1，p 2，---，p n，其大小分别表示相应那个指标的重要性。再取其“加权平均值”。即 x0  =  p1 x1 + p 2 x 2 + --- + p n x n
         前述“取平均值”，可以视为各次测量结果权重相等。都为1/n

      1.离散型随机变量的数学期望（均值）
      设X是离散型的随机变量，它有n个可能的取值。每一个取值表示一个可能出现的试验结果。这个取值的概率，一定意义上显示了“它出现的权利大小”。概率又正好有非负性且总和为1的特点，因而可以视为“权重”。
   定义离散型随机变量的数学期望    E(X) = p1 x1 + p 2 x 2+ ……+ p n x n
         这就好比是取X的加权平均值。
   在X有可列无穷多个取值的情形，如果相应的级数收敛，则E(X)也存在。

    离散型随机变量函数的数学期望 ——
      如果 g(t )是个连续函数，X是随机变量，那g (X)当然也是随机变量。特别的，若X是离散型随机变量，那g (X)当然也是离散型随机变量。 X → g (X) ，相当于一次数据转换。最重要的是，立即对如影随行的概率作相应的转换。
   （1）如果 X →g (X) 是一一对应关系，则
            X的分布列 x i → p（x i）直接就是 g (X) 的分布列 g (x i) → p（x i）
   （2）如果 X →g (X) 不是一一对应关系，比如有几个X值都产生相同的函数值g (x1)，则要把这几个点的概率加起来，作为g (x1)的概率。整理完以后再写出分布列。
      比如  若随机变量X的分布列为 -1    0    1
                                                                     0.1    0.4    0.5
则随机变量 X ² 的分布列为       0    1
                                                   0.4    0.6
      有趣的是，计算E(g (X))，可以不去管函数关系是否一一对应。只需直接把所有的积项g (xi) p（x i）加到一起。实际上，如果 g (x1) = g (x2) ，则          g (x1) p（x1）+ g (x 2) p（x 2）= g (x1)（p（x1）+ p（x 2））
   计算过程中自然地进行了整理。
   2 连续型随机变量的数学期望
         连续型随机变量的定义很有特色。与《线性代数》中特征值与特征向量的定义一样，一个定义界定了两个概念。定义中还蕴含有概率的算法。
   定义 —— 如果存在非负可积函数 f (x) ，使得随机变量X在任一区间（a，b）内取值的概率恰为 f (x) 在此区间上的积分。且f (x) 在实轴上的积分为1，则称随机变量X为连续型随机变量；称 f (x) 为X的分布密度。
   分布密度就是连续型随机变量X的数学模型。
         这里有一个隐情。在样本空间中，事件与集合相对应。概率的基础是集合。所需要的积分是建立在集合基础上的“勒贝格积分”。由于大学数学只教了建立在“区间”基础上的“黎曼积分”，因而在这里就只能打模糊说话。把积分看成黎曼积分来算。
   在“黎曼积分”范畴内没有“函数可积的充分必要条件”； “勒贝格积分”则回答了这一问题。由此可以看到，在集合基础上讨论问题，更深入，也更一般化。
   连续型随机变量X的数学期望 —— 对于连续型随机变量X，如果它的密度f (x) 在实轴上绝对可积，则定义其数学期望为：
      E(X) = x f (x)在实轴上的积分       （黎曼积分中称为“广义积分”。）
   （画外音：不必细究“可积”性，只需知道，连续型随机变量X可能不存在数学期望。）
      连续型随机变量函数的数学期望 ——若X是连续型随机变量，其分布密度为f (x)，g(t )是个连续函数，在积分收敛时，定义    E(g(X )) = g(x) f (x)在实轴上的积分
      特别地，如果  E（X）存在  ，则  E (a X + b) = a E(X) + b

         3，随机变量X的“方差”D (X)
         要描述随机变量X取值的分布态势。X的第二个数字特征“方差”D (X) 应运而生。
   方差D (X ) 以数学期望E(X)为参照物，描述随机变量X的整体分布状态。即随机变量X的取值对于其数学期望的平均偏离。
   (在“存在”的前提下——)
         离散型随机变量X的方差 ——  D (X ) = E ( (X-E(X)) ² )
         连续型随机变量X的方差 ——  若X有密度函数f (x)，则
               D (X )  =  E ( (X-E(X)) ² ) =  (x-E(x)) ² f (x) 在实轴上的积分

   方差定义式可以继续运算：    D (X ) = E ( (X-E(X)) ² ) = E（X ²－2X E(X) + E(X) ²）
因为数学期望的运算是线性的，且常量E(X)的期望就是自己。故
                     D (X ) =上式 = E（X ²）－ E(X) ² 即 D (X ) + E(X) ² = E（X ²）
               通常记 σ² = D (X )    ； μ= E(X)    则    σ²+μ²= E（X ²）
   一定要熟练运用这个平方关系。
   （画外音：为了加深印象，不妨说这是“概率勾股定理”。）
      对于任意实数a与b，若随机变量X的方差存在，则 D (a X + b)  =  a ²D(X)  ，显然  D（b）= 0
            (画外音：不要忘了，随机变量可能不存在均值或方差。)

            例35  设有随机变量X，满足，μ= E(X) > 0 ，σ平方= D (X ) > 0 ，则对任意常数C，必有
            (A) E((X-C) ²）= E(X ²) -C ²       (B) E((X-C) ²）= E((X-μ) ²）
            (C) E((X-C) ²）＜ E((X-μ) ²）  （D）  E((X-C) ²）≥ E((X-μ) ²）
      分析很多人不懂得，遇上这样的问题，要首先考虑能否计算。实际上由平方关系得
               E ((X-C) ²）= D (X-C )  +（E(X-C)）² = D (X ) +  (μ－C) ²
而             E ((X-μ) ²）= D (X )  ，故 E((X-C) ²）≥ E((X-μ) ²），应选（D）。
      这个考题有“概念含金量”。它表明，方差的定义具有“最小性”，以数学期望E(X)为参照物是很合理的。

      4.切比雪夫不等式与“三σ定律”
         切比雪夫不等式 —— 设随机变量X的方差存在，则对任意正数ε，总有
                     P (∣X-E(X) ∣≥ε) ≤ D (X ) / ε²
            为了理解方便，我用其逆事件的概率，重写切比雪夫不等式：
                              P (∣X-E(X) ∣<ε)> 1-D (X ) / ε²
      若取 ε=σ，  则具体有 P (∣X-E(X) ∣<ε) > 0，没有实际意义。
      若取 ε= 2σ，则具体有 P (∣X-E(X) ∣<ε) > 3/4 = 0.75
            若取 ε= 3σ，则具体有 P (∣X-E(X) ∣<ε) > 8/9 ≈ 0.89
         这个结论俗称为“三σ定律”。它显示了随机变量X总体的分布特点。即X以0.89以上的概率落入区间（μ－3σ，μ+ 3σ）内。也显示了随机变量数字特征的应用背景。
      (画外音：巨牛啊，只要随机变量X的方差存在，（μ－3σ，μ+ 3σ）就是其置信度超过0.89的置信区间。)
         从ε=σ的情形可以看出，切比雪夫不等式较为粗糙，且不利于我用的这一方向。事实上，如果随机变量X服从正态分布。则X以0.997的概率落入区间（μ－3σ，μ+ 3σ）内。
   （潜台词：这与统计部分“参数的区间估计”是一个意思，两个角度。）
      一个有趣的应用范例——设计公共汽车的车门高度。可以针对需求国家或地区的人的身高来个性化。即通过统计资料算出μ与σ的近似值。取门高为 μ+ 3σ 就行了。