有意思（7）计算D(卡方(1))是个大综合练习

战地黄花

《概率统计》不是第一层次基础课程。学习《概率》需要你有较好的《高等数学》基础。比如，计算D(卡方(1))就是个大综合练习。（潜台词：D(卡方(n)) = 2n）
     预备1 —— 我们知道，exp（x²）是四个“典型不可积”中最为露脸的一个。正态分布的密度函数与它同为一家，但是密度函数在全直线积分为1。在历史上，人们曾利用这个特点及定积分技巧来计算一些无穷积分。计算D(卡方(1))，最尾端就要用到它。
     预备2 ——我在“讲座”，逐讲给大家建立一个“材料库”。最早在（5）中有一条
             “x 趋于 +∞ 时，指数函数 exp（x）是比任意高次方的幂函数都还要高阶的无穷大。”
或者说，     “x 趋于 +∞ 时，函数 exp（-x）是任意高阶的无穷小。”
         预备3 —— 分部积分的要点是“变化”
               ∫甲•乙dx =（甲的一个原函数)•(乙)-∫(甲的这个原函数) •(乙的导数)dx

           设 X 服从标准正态分布，我们计算  D(X²)，即证明 D(卡方(1)) = 2     
           鉴于输入问题，我写出步骤，大家在纸上划一下
     （1）用平方关系来算D(X²)，得先算均值  E(X四次方)
            设  f（x）是N (0, 1)的密度函数，求 E(X四次方），被积函数  x 四次方 f（x）  在全直线积分
       分  x 四次方 f（x）=  x ³•x f（x） ， 注意 x f（x）的原函数恰是  -f（x）
       分部积分一次，求极限知第一部分答案为0， (运用预备2),      第二部分是  3x²f (x)  在全直线积分
       再分 x²f (x) =  x• x f（x） ,    又分部积分 ， 同样求极限知第一部分答案为 0         ，   
                                     第二部分已是3倍密度函数 f（x）在全直线积分，当然为 3
         （2） 用平方关系来算
       我常常开玩笑把平方关系 E(X²) = μ² + σ² 称为“概率勾股定理”。
       D（X²）=  E(X 四次方）-（E(X²)）² = 3 -1 = 2
            怎么样，有点意思吧。

[ 本帖最后由 战地黄花 于 2010-5-14 09:42 编辑 ]

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楼主还是请用公式编辑器吧，谢谢了

wjt6613

楼主的每个帖子我都会仔细研读 希望继续 （CN贴）

战地黄花

请问，“公式编辑器”是否是论坛的设置，怎么用？谢谢

yinjh0820

非常感谢楼主的经典帖子

kentluo29

{:soso_e113:}受教了
谢谢老师

蓦然回首@

受教了。。