考研数学讲座(10)-(14)

战地黄花

考研数学指导（10）微分是个新起点
     微分学研究函数的方法，是用函数的导数回头去研究函数。这和物理学用速度及加速度去研究物体运动是一个道理。微分则是运用导数研究函数的起点。
     线性关系是最简单的函数关系。我们在生活中遇到的正比例问题举不胜举。而讨论非线性问题，总是件很困难的事。到朋友家要上楼，如果他们家的楼梯是非线性的，多半你会摔个跟头。
    “能否把非线性问题线性化？”这是人们在经验基础上的自然思考。实际上，非线性问题就是非线性问题，所谓“线性化”，只是用一个“合适的” 线性模型去近似非线性模型。即                     
             非线性模型 = 线性模型 + 尾项（尾项= 非线性模型－线性模型），
     关键在于表示尾项，研究尾项！找到尾项可以被控制的逼近模型。
     把这个思想落实到函数上，就是，在中心点x0邻近，能否有
        Δy = AΔx + 尾项    ，尾项 = Δy－AΔx  能否是比Δx高阶的无穷小？
     如果能，就称函数在点x0可微分。简称可微。记 dy = AΔx ，称为函数的微分，又称为函数的线性主部。
      将可微定义等式两端同除以Δx，令Δx趋于零取极限即知，若函数在点x0可微，则
     A就是函数在点x0的导数 f ′(x0)；从而 Δy = f ′(x0)Δx +ο(Δx)   ；ο(Δx)表示“比Δx高阶的无穷小。”
                 或  Δy = dy  +ο(Δx)      ；   dy = f ′(x0)Δx = f ′(x0) dx
          要是需要，我们可以丢去尾项，微局部地得到函数值的（线性的）近似计算式。由于丢去的尾项是比Δx高阶的无穷小，如果∣Δx∣＜ 0.01 ,那么，绝对誤差也小于0.01
          不丢尾项，我们得到函数的一个新的（微局部地）有特定含义的表达式：
                  f（x）= f（x0）+ Δy = f（x0）+ f ′(x0)Δx +ο(Δx)
           历史上，这个表达式称为，“带皮阿诺余项的一阶泰勒公式”。
      近一步可以证明，可微与可导等价。
      例 41   设函数f（u）可导，y = f（x平方）当自变量x在点x = －1取得增量  Δx =－0.1时，相应的函数增量Δy的线性主部为0.1，则f ′(1) = _______
          分析  Δy的线性主部即是微分dy ，而 y′(x)= f′(u)2x , y′(1) =－2f′(1)
故              dy= y′(x) dx 具体为    0.1 = y′(1)( －0.1) ，解得  f ′(1) = 1/2

          函数 f（x）在一个区间上可导时，我们记微分 dy = f ′(x)dx 。但是不能忘了微分的微局部意义。
      函数可微，且f ′(x0)≠0时，还可以把可微定义等式变形为  Δy / f ′(x0)Δx = 1 + ο(Δx)∕f ′(x0)Δx      
令 Δx → 0 取极限，即知 Δy和dy是等价无穷小。
      为了考试，要尽可能记住一些常用的等价无穷小，例如在x → 0过程中
                sinx ～ x  ； ln（1+x）～ x  ；e xp（x）－1 ～ x  ；√（1+ x）－1～ x∕2
           它们都是在原点计算Δy和dy而获得的。最好再记住    1－cosx ～ x 平方∕2
两条经验：
     （1）常用等价无穷小的拓展——例如，若在某一过程中，若 α（x）是无穷小，则
           sinα（x） ～ α（x） ； ln（1+ α（x））～ α（x） ；e α（x）－1 ～ α（x）
              √（1+ α（x））－1 ～ α（x）∕2    ；  1－cos α（x） ～ α（x）平方∕2
         （2）等价无穷小的差为高阶无穷小。
       例42    设当x → 0时，  （1－cosx）ln（1+x平方）是比 x（sinx的n次方）   高阶的无穷小；
               而   x (sinx的n次方)   是比 exp（x平方）－1   高阶的无穷小，则正整数 n = ？
       分析   x → 0 时，（1－cosx）ln（1+x平方）为 4 次方级的无穷小；x(sinx的n次方)  是n+1次方级；
                     exp（x平方）－1  是 2 次方级，由已知，2＜n+1＜4 ，只有n = 2

          我们还可以学会主动选定中心点，计算Δy和dy来获得等价无穷小。
      例43 设在区间 [1/2，1）上，f（x）= 1/πx + 1/sinπx－1/π（1－x），试补充定义函数值f（1），使函数在闭区间上连续。
      分析 （1）点1是右端点，按照连续的定义，应该补充定义f（1）为函数在点1的左极限。
     （2）观察函数结构，第一项是连续函数求极限。第二，三项形成“无穷－无穷”未定式。
     （3）“计算无穷－无穷，能通分时先通分”。 通分后化为0/0型未定式。求商的极限是否顺利，关健在于分母。要尽可能先简化分母。
     （4）公分母 为 π(1－x）sinπx ,可以考虑在点 1 计算 sinπx 的等价无穷小
      因为  sinπ= 0 ,故 Δy = sinπx ；而 dy =πconπΔx =－π（x－1）
      作等价无穷小因式替换，分母变成二次函数，再用洛必达法则求极限，一定顺利。
      学习本是为了用，该出手时就出手。你不妨直接用洛必达法则求通分后的0/0型未定式极限。作个对比。
      例44      设函数f (x)在x = 0的某邻域内有连续的一阶导数，且f (0)≠0，f ′(0) ≠0，若
            a f（h）+ b f（2h）－f（0）在h → 0时是较h高阶的无穷小，试确定数a和b的值。
      分析  由高阶无穷小的定义得h → 0时  lim (a f（h）+ b f（2h）－f（0）) / h = 0
           记 F(h)= a f（h）+ b f（2h）－f（0），F连续。于是（用“基本推理”）由极限式与连续性推出   
          F(0)= lim F(h)=（a + b + 1）f（0）= 0 ，只有   a + b + 1 = 0
同时     （F(h)－F(0)) / h = F(h) / h，再由极限式得 F ′(0)= 0
实际上，    F ′(h) = af ′(h) + 2b f ′(2h)， F ′(0) = （a + 2b）f ′(0) = 0
这就有第二个方程   a + 2b = 0 ；联解之，a = －2  ，b = 1
          *分析二  换一个思考方法，可微分定义式给了函数一个新的（微局部意义的）表达式。试用一下。
      设想h充分靠近0，则f（x）= f（0）+  f ′(0)x +ο(x)       （中心点是原点，Δx = x － 0 = x）
故         f（h）= f（0）+  f ′(0)h +ο(h)        f（2h）= f（0）+ f ′(0)2h +ο(h)   
从而     a f（h）+ b f（2h）－f（0）=（a+b－1）f（0）+（a+2b）f  ′(0)h +ο(h)
           要它在h → 0时是比h高阶的无穷小，常数项和h项系数必需为0，获得两个方程。

考研数学指导（11）洛尔定理做游戏
      洛尔定理既为中值定理做准备，又在函数零点讨论方面具有独立意义。洛尔定理的证明中，逻辑推理既有典型性，又简明易懂。因而洛尔定理成为考研数学的一个特色考点。
      我国的大学数学教材，通常把“费尔玛引理”的证明夹在洛尔定理的证明中，使得证明显得冗长。我先把它分离出来。（画外音：这可是个难得的好习题。）
       1  费尔玛引理 —— 若可导函数在区间内一点取得最值，则函数在此点的导数为0
            分析  我们复习一下“构造 法”。已知或讨论函数在某一点的导数，不仿先写出导数定义算式，观察分析增量商。这是基本思路。
       “老老实实”地写：设函数在区间内一点x0取得最大值。写出增量商  (f（x）－f（x0）)/（x－x0）
       “实实在在”地想：它有什么特点呢？ f（x0）最大，分子函数增量恒负，分母自变量增量左负右正。这样一来，
        增量商在x0左侧恒正，（负负得正）。其左极限即左导数非负。（潜台词：极限可能为0）
        增量商在x0右侧恒负。故右极限即右导数非正。    函数可导，左，右极限存在且相等，导数只能为0
            （画外音：导数为0，不是直接算出来，而是由逻辑推理判断得到的。你能否由此体会到一点数学美呢 。）
        2  洛尔定理 —— 若 函数 f（x）在闭区间 [a，b] 连续，在（a，b）内可导，且端值相等。则
必在（a，b）内一点 ξ 处导数为 0
             分析  函数在闭区间 [a，b] 连续 → 函数必有最大最小值
              端值相等 → 只要函数不是常数，端值最多只能占最值之一。至少有一最值在区间内。
              函数在（a，b）内可导 → 内部的最值点处导数为0
             请看看，分离证明，前段运用导数定义，符号推理非常典型。后段逻辑有夹逼味道，十分简明。
        运用洛尔定理，关键在于要对各种说法的“端值相等”有敏感性。
        例 47    设函数 f（x）二阶可导，且函数有3个零点。试证明二阶导数 f "（x）至少有一个零点。
        分析  “函数有两个零点”，意味着两个函数值相等！它俩组成一个区间，就满足“端值相等”条件。可以应用洛尔定理得到函数的一阶导数的零点。
        设函数的3个零点由小到大依次为  x1，x2 ，x3
              顺次取区间 [x1，x2]，[x2，x3]，分别在每个区间上对函数用洛尔定理，得到其一阶导数的两个零点， ξ1，ξ2，且 ξ1 ＜ ξ2
             ξ1，ξ2 客观存在。它们组成区间 [ξ1，ξ2] ，且f ′(x) 在此区间上端值相等。
        已知二阶导数f "（x）存在，即 f ′(x)可导。对函数 f ′(x) 用洛尔定理就得本题结论。
       本例同时展示了“逐阶运用洛尔定理”的思路。
       不要怕“点ξ”，不要去想它有多抽象。客观存在，为我所用。只是要留心它的范围。
       (画外音：怕啥子嘛，你不是学了哲学，学了辩证法吗。)
             3 “垒宝塔” 游戏   
       如果函数n阶可导，且函数有n +1个互不相同的零点。由此可以得到什么信息？
       我们可以象上例那样，先把这n +1个零点由小到大排序编号，x1，x2 ，x3 ，…… ，x n ，x (n+1)
再顺次组成n个区间，        [x1，x2]，[x2，x3]，…… ，[x n ，x (n+1)]
           分别在每个区间上对函数用洛尔定理，得到其一阶导数的n个零点，且有大小排序
                                 ξ11 ＜ ξ12 ＜ …… ＜ξ1n
           同理，顺次取区间 [ξ11，ξ12] ，[ξ12，ξ13] ，…… ，[ξ1（n－1），ξ1n]
           共计n－1个区间，分别对一阶导函数 f ′(x) 用洛尔定理，得到二阶导数的n－1个零点，由小到大依次记为
                            ξ21，ξ22，……ξ2（n－1）
                                      ……            ……
            再一次次逐阶运用洛尔定理，最后可以得到结论：函数的n阶导数有1个零点。
       这是微分学的一个经典题目，结论好似一个倒置的“杨辉三角形”。
       就当是做游戏吧。一个“垒宝塔” 游戏。
       4   研考典型大题      
       考研数学有时在这个考点上出大题，基本模式为
       “ 已知 …… ，证明区间内至少有一点 ξ ，使得一个含有导数的等式成立 。”
       例 48    设 f（x）在 [0，1] 上连续，在（0，1）内可导，且 f（1）= 0，试证（0，1）内至少有一点 ξ ，使得       f（ξ）+ ξf ′(ξ) =  0
             分析（综合法） ξ只是一个特殊点。ξ就是方程   f（x）+ xf ′(x) =  0   的根。
        方程的根转化为函数  g（x）= f（x）+ x f ′(x)  的零点讨论。
      （潜台词：我们有“介值定理”， “洛尔定理”两件兵器哦。）
        由于关系式中有含导数的项，可以猜想，ξ  应当是我们对某个函数运用洛尔定理后，得到的导函数的零点。即 g（x）是某个函数F（x）的导函数 ？！
        再仔细观察 g（x）的结构，它多象是一个乘积函数求导公式啊。 （画外音：求导不熟练，肯定反应慢。）  
        实际上它的确是积函数  F（x）= x f（x）的导函数，且恰好端值相等。
        证明时只需从“作辅助函数F（x）= x f（x），…… ”说起。
        啊，典型的欧氏方法，困难的逆向思维。

考研数学指导（12）中值公式不为算
        数学公式基本上可以分为两类，一类用于计算。一类用于描述。      
        中值定理的公式（有限增量公式）就是描述型的数学公式。非数学专业的本科学生感到数学难学，一个基本原因在于观念。以为数学公式都是计算公式，遇上了描述型的公式，他们毫无思想准备。
        描述型的数学公式意义深远。从根本上说，数学科学企图描述世界的任何过程。
        描述型的数学公式并不难学。什么条件下可以用什么样的公式描述，你记住公式，完整地写出来不就行了。
        微局部地研究函数，焦点在于讨论增量。我说微分是个新起点，指的就是，若函数f（x）在点x0可微，则函数实际上就有了一个（微局部的）新的表达式：
              f（x）= f (x0) + f ′(x0)(x－x0) +ο(Δx)（ 尾项，比Δx高阶的无穷小）
        历史上，这个表达式称为，“带皮阿诺余项的一阶泰勒公式”。
        之所以是“微局部”的描述公式，是因为只有在x0的充分小的邻域内，“高阶无穷小”的描述才有实际意义。
       不要认为这有多抽象。这是线性化思维的一个自然结果，一个客观事实。知道其存在，能对几个简单的基本初等函数按过程写出来，就算掌握了。
       比如，在原点邻近，可以有，sinx = x +ο(x)，（请对比sinx ～ x）。由此近一步有
           x － sinx = x －（x +ο（x））=ο（x） （潜台词：表达式嘛，那就可以代进去。）
       这就是描述型的思路。它告诉我们，x趋于0时，x － sinx是比x高阶的无穷小。
       在求极限时，我们只可以对（分子或分母）的“无穷小因式”作等价无穷小替换。但是，只要对运算有利，我们就可以把函数的（带高阶无穷小尾项）表达式代到任何一个位置去。      
       在运用函数的导数来研究函数的过程中，这个思路沿着两个方向延拓。
      （1）对尾项的描述能否更具体？
（      2）能否提高描述的精度？即能否把函数写成
                f（x）= 以x0为中心的n次多项式 + 尾项（比(Δx的n次方)高阶的无穷小）
      《高等数学》在方向（1）上，讲了“拉格郎日公式”； 在方向（2）上则讲带有“拉格郎日型尾项的泰勒公式”。（后者只征对考数学一，二的考生）。
        拉格郎日公式  若 函数在闭区间 [a，b] 上连续，在（a，b）内可导，则（a，b）内至少有一点 ξ ，使得             f (b)－f (a) = f ′(ξ)（b－a）
        教科书上是增量商的形式，我更喜欢用乘积形式。
        定理说的是区间，应用时不能太死板。在满足条件的区间内取任意两点，实际上也组成一个（子）区间。比如，在区间内任意选定一点x0，对于区间内任意一点x，（潜台词：任给一点，相对不变。）也可以有
               f（x）－f（x0）= f ′(ξ)（x－x0） ，ξ 在x与x0之间，
即             f（x）= f（x0）+ f ′(ξ)（x－x0） ，ξ 在x与x0之间，
         （画外音：一个x相应有一个ξ，理论上构成一个函数关系。）
         这样一来，中值定理也给了函数一个新的表达式。带 ξ 的项是尾项。（拉格朗日尾项）。
         思考题目时，只要看到有导数条件及函数增量式，你就可以考虑先用拉格朗日公式转换描述方式，迈出第一步。再考虑如何利用导数条件及 ξ 所属范围处理尾项。
         例51  已知 f（x）在[0，1]可导，且导函数单增，试将f′(0)，f′(1),f (1)－f（0）三个数按大小排序。
         分析  导函数单增，都是导函数值才能比较大小。f（1）－f（0）是增量式，先用拉格朗日公式得，
                   f（1）－f（0）= f ′(ξ) ，0＜ξ＜1 ，写出这一步来就啥都明白了。
         不要怕ξ，它是区间内客观存在的一点。它的范围有时（如上例）也能导出信息。
         例52          已知f（x）在某区间可导且导函数有界，试证明 f（x）恒满足  ∣Δy∣≤ C∣Δx∣
          分析  不知道已知区间是开区间还是闭区间，反正已知有∣f ′(x)∣≤ M（正常数）
在区间内任取两点,视为常数,运用拉格朗日公式
                  f（x1）－f（x2）= f ′(ξ) (x1－x2 ) ，x1 ＜ξ＜ x 2
               等式两端取绝对值，导函数有界的条件管住了ξ，取C = M ，本题结论成立
        多写才能熟悉。最好的基本练习是，把上例中的函数具体取为正弦，余弦，指数函数，反正切等，自己设定区间，求出M值，重复写出证明过程。
        例53  已知当 x 趋于+∞时，lim f′(x) = e ，求 lim （f（x+1）－f（x））
        分析  对任意给定的x ,所求极限的变量式，恰是函数 f（t）在点 x 与 x + 1 的增量式。先用拉格郎日公式改变其描述方式。
      （画外音：分层次思维，走一步，写一步，再观察。）
                 f（x+1）－f（x）= f ′(ξ) ，x ＜ξ＜ x +1      ，实际上 ξ= ξ（x）
        显然，当 x 趋于+∞时，必有 ξ 趋于+∞；故， 原极限 = lim f ′(ξ) = e         最后的答案来自唯一性定理。
（      潜台词：无论ξ（x）以怎样的方式趋向无穷，唯一性定理都管住了它。）
       例54         试证明 x ＞ 0 时，ln（1 + x）＜ x
              分析   ln（1+x）= ln（1 + x）－ ln1 = x/ξ ＜ x  ，1＜ξ＜ x+1
               实际计算步骤为，取函数  y（t）=  ln（t），则 y′(t)= 1 / t    进而 y′(ξ) = 1 /ξ  , 得到结论只用了 ξ＞1
            “添零项获得增量”。创造条件运用拉格郎日公式。考研中心认为，你一定会这个小技术。

考研数学指导（13）图形特征看单调      
        用导数讨论函数,中值定理是座座桥梁。拉格郎日公式有两个推论。使它更好地发挥桥梁作用。
        1．拉格郎日公式的两个推论        
        推论（1） 可导函数恒为常数的充分必要条件是其导函数恒为零。
        推论（2） 设函数 f(x) 在区间（a，b）内可导，且导函数 f ′(x)＞ 0 ，则f(x)在此区间上单增。
        推论(1)是一个很好的“相对比较”练习题。即任选一点x0 ，视为不变。再任给一点x ，比较两个函数值的差。我们就可以应用拉格郎日公式，并联系已知条件得到结论。
        由推论（1）得到“证明两个可导函数恒等”的程序：
        “在某区间上证明可导函数 f(x) ≡ g(x) ”—→ 作F（x）= f(x)－ g(x)，F（x）可导
        —→ 验证  fˊ(x)－ gˊ(x) ≡ 0  ，证得   f(x)－ g(x) = 常数
        —→ 选一个特殊点，计算验证这个常数就是0

             为什么推论(2)中，“导函数f ′(x)＞ 0”不是可导函数单增的充分必要条件呢？这是因为单增的函数也可能在若干个孤立点上导数为0 。比如，立方函数单增，而它的导数在原点为0 。
       （潜台词：要注意函数单增的定义啊，自变量变大，相应的函数值一定也变大。）
       例57   设函数f(x)在实轴上单增，可导，则 （A）在实轴上恒有 fˊ(x)＞0       （B）对任意x ，fˊ(－x)≤0
                     （C） 函数f(－x)在实轴上单增。     （D）函数－f(－x)在实轴上单增。
        分析  由已知信息只能推得 fˊ(x)≥0，（A）错。
               fˊ(－x)是个复合函数。其结构是y = fˊ(u)，u = －x，故 fˊ(－x) ≥0；（B）错。
               f(－x) 的导数为  －fˊ(－x)，由此知（C）错。应选（D）。

        2. “逐阶说单调”         
              单调性是函数最重要的图形特征。如果一个连续函数分段单调，那么，单调性改变的分界点，就是函数的极值点。这就自然而然地产生了极值点的“第一判别法”。
        一个很好玩的游戏是“逐阶说单调”。
       例58   设函数f在点x0邻近三阶连续可导，且在点x0，其一，二阶导数都为0，而三阶导数不为0，你能由此得到什么样的信息？
        分析 （1）不仿设 f "′（x0）＞0，三阶导数连续，在点x0邻近三阶导数全大于零。
        （潜台词：体验极限，近朱者赤。连续函数一点大于0则一段大于0）
       （2）三阶导数大于零，则二阶导数单增。
        又因为f "（x0）= 0 ，故当x由左侧趋近点x0时，f "（x）由负单增到0，从x0点再向右，f "（x）单增为正。
        x0 两側二阶导数反号，图形上点（x0，f (x0)）是拐点。      
        (3）在x0点左側，一阶导数单减，且由正单减到0；在x0点右側，一阶导数单增，且由0单增为正。f ′(x0) = 0是一阶导数的极小值。一个孤立的零点。
       （4）函数f在点x0邻近单增。         （画外音：其导数有一个孤立的零点。）
        逐阶说单调，这是基本功。可以算是一个基本推理集成块。它同时展示了讨论连续函数符号的基本方法。
        如果设 f 在点x0邻近四阶连续可导，且在点x0，其一，二，三阶导数都为0，而四阶导数不为0，则练习逐阶说单调后，你会发现，x0一定是极值点。

       例59    已知正函数f与g都在[a，b] 上可导，且f ′(x) g (x)－f (x)g ′(x)＜0 ，则对区间内任意一点x，有
           （A）f (x) g (b)＞ f (b) g (x)          （B） f (x) g (a) ＞f (a)g (x)
                     （C）f (x) g (x)＞ f (b) g (b)          （D）f (x) g (x)＞ f (a) g (a)
             分析  已知关系式的左端象是“商函数”求导公式的分子。分母可配g (x)的平方，表明f (x)/ g (x)单减。也可以配f (x)的平方，表明g (x)/ f (x)单增。
       （A）即是f (x)/ g (x) ＞ f (b)/ g (b )，只要商函数f (x)/ g (x)单减，它就显然是对的。应该选（A）。
        例60    设函数f在闭区间 [a，b] 上连续，在（a，b）内可导，且端值都为零，但在（a，b）内至少一点c处为正。试证明（a，b）内至少有一点ξ，使得f "（ξ）＜ 0
             分析  没有相关的高阶导数信息。试用反证法。设（a，b）内恒有f "（x）≥ 0，则一阶导数“不减”。
      （潜台词：不知道f "（x）是否只在某些孤立点上为0，就不能说f ′(x)单增。）
       对函数f用洛尔定理得知（a，b）内至少有一点η，使得   f ′(η) = 0
              f ′(x) “不减”，在（a，η）内必有 f ′(x)≤ 0，f “不增”，而起点处f (a)= 0，只有f (x)≤ 0；
        f ′(x) “不减”，在（η，b）内必有f′(x) ≥ 0，f 也“不减”，但已知f (b) = 0，函数还是只能非正。
这和已知f (c)＞0矛盾。本题结论成立。
     （画外音：构造法的叙诉方式。类似于做了一次“逐阶说单调”游戏。）
       方法二  也可以先顺次在区间（a，c）及（c，b）上分别用拉格郎日公式，得到两个客观存在的点。已知f (c)是正数，老老实实地写出两个式子，应该能确定这两点处一阶导数值各自的符号。试试在这两点组成的区间上再对一阶导函数用拉格郎日公式
      *例 61     设f (0) = 0 ，f ′(x)在（0，+∞）上单增，试证明函数g (x)= f (x)/x也在区间（0，+∞）上单增。
       分析  证单调，先求导。 g ′(x) =（x f ′(x)－f (x)）∕x平方
            分母恒正。但是无法判定分子的符号。没有二阶导数信息，不能再说单调讨论分子符号（ “二次讨论”）。
        已知f ′(x) 单增，两个导数值可望比较大小。又已知f的一个零点与一阶导数信息。考虑用中值定理改变f的描述方式。即             f(x) = f ′(ξ)x ，0＜ξ＜ x ，（潜台词：一个x相应有一个ξ，ξ= ξ（x））
代入分子后，     有 （x f ′(x)－f (x)）= x（f ′(x)－f ′(ξ) ）＞ 0
            ξ 的范围与导数单增的条件就管住了ξ 。你也可以说是用了“添零项获得增量”技术。
       描述性的公式，在应用中加深理解。就学了那么一点点。练他个滚瓜烂熟，遇到问题时，一看条件，你就能想到它。

考研数学指导（14）单调法是重头戏
       有了初始点x0的信息，又知道函数的单调性，就能判定函数的符号。
            “若函数f (x)单增且f (x0) ≥ 0 ，则x ＞x0  时 f (x)＞0”
             其实在（13）段中“逐阶说单调”，已经说了好多花样。这里还可以拓展的是：
      （1）若函数单增但只在x＞x0 时有定义，只要f (x0+0) ≥ 0，则f (x)＞0
           （画外音：这种情形下,数f (x0+0)称为函数的“下确界”。即最大的下界。）
       （2）若函数f (x)单减且当x趋于 +∞ 时为无穷小，则f (x)＞ 0
             这个符号逻辑非常简明。因而尽管本科教材上写得较少，考研数学却经常在这个点上出大题。我把这个典型题型称之为“用单调法证明简单的函数不等式。”
        要证明 x＞x0 时，f (x) ＞ g (x)，转化为证明 F = f (x)－g (x) ＞0 ，到底行不行，先看有没有“初始信息”，再对F求导。看导数正负说单调，两者结合定符号。

       例64     试证在（0，π/2）内 ，sin x ＞ 2x/π
              分析  作 F = sinx －2x/π，F在 [0，π/2] 连续。要证，F在（0，π/2）内恒正。
        显然，Fˊ= cos x－2/π，导函数在（0，π/2）内 有一个零点η；要分两段“说单调判符号”。
        在前段（0，η]，Fˊ≥ 0 ，等号只在η成立。F单增，初值F(0)=0 ，故F（x）＞0
              在后段（η，π/ 2 ） ，Fˊ＜ 0 ，F单减 ，终值F(π/2) = 0 ，同样有F（x）＞0
               方法二  在有驻点情形，要证明函数非负，还可以考虑证明其最小值非负。
        本题中，在（0，π/2）内 ，驻点唯一，F" =－sinx ＜0，这是唯一的极大点。
         唯一的极大就是最大。最小值一定落在区间端点处。而F（0）= F（π/2）= 0

             分析三（反证法） 已有F（0）= F（π/2）= 0；如果F在（0，π/2）内不定号，就必定还会有零点。这就能作“垒宝塔”游戏，证得二阶导数F"在（0，π/2）内有零点。实际计算知矛盾。故F定号。再计算F（π/6），即知F恒正。
       方法四  作F = sinx/x －2/π ,
            这有两点新意。首先，函数F在原点无定义，但右极限为1 。
       其次，F的导函数，就是前项商函数的导数，分母为 xconx－sinx ，难以判定符号。那就从头再来。
       设G = xconx－sinx ，G（0）= 0 ；再求导，Gˊ=－sinx   在（0，π/2）内Gˊ＜0，G（x）单减，G（x）＜0
           （潜台词：没啥了不起，“说单调讨论符号”是我们的拿手戏。）
        我给这种情形取名为“二次讨论”。
        我读本科时，同学们在宿舍里比赛。造一道不等式证明题，看谁的逐阶说单调的阶数高。记得优胜者出的题目需要“五次讨论”。
      （画外音：哇噻，你们学数学的就这样玩？！）

       例65        设 函数f(x)在实轴上二阶可导，且 f "（x）＞0    ；又已知x趋于0时，lim  f (x)/ x = 1 ，
试证明  f (x)≥ x
           分析 （1）f "（x）＞0，则一阶导数单增。
      （2）分值有限，在大题中，可以直接说：“从已知极限得f (0) = 0，f ′(0)=1”。预先背熟基本推理的好处就在这理。
      （3）已知极限还暗示，原点是个特殊点。仔细再看，要证的“等号”就在原点成立。本题如果用单调法，得选原点为初始点分段讨论。
       比如，在（－∞，0），作F = f (x) － x ，Fˊ= f ′(x) － 1 ，F" = f "（x）＞0一阶导数单增而 Fˊ(0) = 0，在（－∞，0）内Fˊ(x)恒负；
       函数F(x)单减而F(0) = 0  ，在（－∞，0）内F(x)恒正。
      （4）用最值法——实际上，作F = f (x) －x后 ，晃一眼导数，就会敏感地想到极值点。一阶导数为零，二阶导数为正的点，必是函数的极小点。唯一的极小点一定是最小点。函数的最小值为零，函数非负。
       (5) 用泰勒中值定理—— 由（2）出发，可以考虑选0为中心点，先用泰勒中值定理给函数一个表达式
                      f (x)  = x +（1/2）f "（ξ）x平方，ξ 在0与x之间
这就是说，对任意一点x≠0，总有 f (x)  = x + 正数（尾项），自然有f (x)≥x
           试探就是研究。中值定理只能给出一个描述方式。能否解决问题，写出来再观察。

       例66    设 b＞a＞e ，证明，a的b次方 ＞ b的a次方
       分析  尽管我们习惯于用x表示（自）变量，为了完成证明，不仿把不等式看成是“幂指型”的，即底数，指数都是变量。处里“幂指型”问题，通常先看能否取对数。对数函数是增函数，本题即证 blna ＞ alnb ，再单把a看成自变量，作F（a）= blna－ alnb，显然F（b）= 0，就可以在（b，e）上使用单调法了。
     （画外音：要是不习惯，就先把a换成x嘛。）
       例67       试证明 x > 0 时 ， （x平方－1）lnx ≥（x－1）平方
       分析  本题有潜在的分界点x = 1，且x = 1时所证关系式中的等号成立。问题归结为
       证明  0 < x < 1时 ，（x+1）lnx ＜（x－1）而  x > 1时 ，（x+1）lnx ＞（x－1）
       为了求导及讨论导数符号方便，我们证明
               0 < x < 1时， lnx ＜（x－1）∕（x+1） ； x > 1时 ，lnx ＞（x－1）∕（x+1）
       作 F = lnx －(x－1)∕(x+1)，F(1) = 0，  （潜台词：F（0+）不存在。）
       易算得x > 0时 ，Fˊ(x)＞0，分段说单调讨论符号就能完成本题证明。
       方法完全程序化了，具体问题还得注意具体特点。

[ 本帖最后由 战地黄花 于 2010-3-28 18:18 编辑 ]

zhu3884080

十分感谢！

鱼乐江南

楼主的系列讲座非常精彩，顶！

szj0722

顶一下！

战地黄花

强化基础,加油加油.

hacker5666

怎么没有9呢  第9部分哪儿去了

sdc2010

如图

renyupeng425

呵呵 谢谢老师 我会一直支持你的

ycitxsw

谢谢

328020833

大师，最近没出新作啊