关于同济5书上的定理证明步骤的疑惑！

chonini

小弟在复习高数时，在同济5版下册P21的定理证明中遇到瓶颈，望各位学长高手渡我！！
此题如下：

定理2（充分条件） 如果函数z=f(x, y)的偏导数在点（x, y）连续，则函数在该点可微分。

证  因为我们只限于讨论在某一区域内有定义的函数（对于偏导数也如此），所以假定偏导数在P(x, y)连续，就含有偏导数在该点的某一领域内必然存在的意思。
设点（x+Δx, y+Δy）为这邻域内任意一点，考察函数的全增量
                     Δz  = f ( x+Δx, y+Δy) – f (x, y)
                                          = [ f ( x+Δx, y+Δy) – f (x, y+Δy ) ] + [ f (x, y+Δy ) – f (x, y) ]
在第一个括号内的表达式，由于y+Δy 不变，因而可以看做是x 的一元函数f (x, y+Δy ) 的增量。应用拉格朗日中值定理，得到
                    f ( x+Δx, y+Δy) – f (x, y+Δy ) = fx (x +θ1Δx,  y+Δy) Δx   ( 0<θ1 <1 )
又依假设，fx (x,  y+Δy)在点（x, y）连续，所以上式可以写为
                    f ( x+Δx, y+Δy) – f (x, y+Δy ) = fx (x ,  y) Δx + ε1  x  （1）
其中，ε1  是Δx，Δy的函数，且当Δx-->0，Δy0时，ε1 -->0

请问（1）式运用什么数学原理得到的？！

tiantian0623

有限增量公式，按照多元函数连续的定义就可以证明

lzlgstudent2009

同济五版的书有很多错误，有一本纠错，西交大出版的

overmind27

19页 全微分的定义

[ 本帖最后由 overmind27 于 2010-2-14 23:30 编辑 ]

战地黄花

x 趋于x0 时，lim f（x）= A 的充分必要条件是，
              f（x）= A + α（x），α（x）是无穷小。
如果 f（x）在点x0连续，则 x 趋于x0 时，lim f（x）=  f（x0），故
     f（x）= f（x0） + α（x），α（x）是无穷小
对于二元函数，有类似定理成立。证明中是对连续的偏导数用这个定理。
（x +θ1Δx,  y+Δy）是（x，y）邻近的点，（x，y）视为定点，Δx与Δy为变量；尾项为无穷小 α（Δx， Δy），

[ 本帖最后由 战地黄花 于 2010-2-20 21:01 编辑 ]

chonini

学长真的很厉害！