基础解系

tianqiaozs

一直对基础解系不很明白，上辅导班。老师很简略的就讲过去了，一直郁闷，
今天把自己的理解写出来，纯粹是理解，不管什么什么格式的，哪样想着顺，想着舒服哪样来，希望批评指正。

基础解系
1、它自身是个向量组，可能有一个，可能有许多个；
2、自身的这么多向量是线性无关的；
3、原方程组的所有解都可以用它线性表出；
   也就是可以用它把原方程组的所有解都表示出来；

也就因为它可以把原方程组的所有解都表示出来，才说它是最基础的，又因为它是个解，可能有一个也可能有多个，（或者说它把其它所有的解都表示出来了，类似个系或组，即是一群解），所以说是个解系，所以称为基础解系。   （对 为什么不叫基础解，非得叫基础解系的想法不太肯定。）

这里面就涉及到一个问题，它到底是一个，还是多个，这个数是怎么确定的？这个个数也就是说这个基础解系里面包括几个向量（又称独立向量）？

课本里面都说这个个数是等与未知变量的个数减去系数矩阵的秩得到的。
为什么这样说，我们来看方程组，
假设方程组有四个方程，五个未知量，化解系数矩阵，一个方程其实就对应着系数矩阵的一行。系数矩阵化解后得到的秩为3，这个3说明了什么，说明了如果按照初中学的化解方程组，方程组的四个方程就可以化解为三个方程，有一个是可以约去的。

我们再想一下按照初中方法化解后得到的这三个方程，解这三个方程肯定能得到其中三个未知量的解，这三个解是什么，就是用另外两个未知量表示出来的式子，这些在初中经常用的。

我们再想得到的这三个解，由于我们这里都是用向量来表示的，（表示未知变量的这个向量）里面有五个元素，其中三个我们已经得到了，就是用另外两个表示；所以就剩下这两个了，这两个肯定能用它自己表示吧，即1，0或者0，1，，这样（表示未知变量的这个向量）就得出来了，这个向量等于一个东西，这个东西使用其中两个未知变量表示，先停住。

我们接着想，由于这两个变量取一组值，那三个变量也就取一组值，这两个取什么，那三个就取相对应的什么，又由于这两个变量可以取任何值，所以那三个变量也就能取任何值。好，继续，所以可以把这两个变量用a，b，c，d等等等其它字母来表示，这样方程组的解也就写出来了。

进而也因此把这两个变量的组合称为基础解系，因为它取一个东西，其它三个就相对应的取一个东西，则解就是一个东西，它取任何东西，则解就是任何东西，（即所有的解都可以表示出来）。

从上面也可以看出这两个变量（决定）那三个变量，他们之间的这个（决定）关系是由他们之间的关系式得来的，它们之间的关系式其实就是（按照初中方法化解后得到的三个方程）的三个解的式子，而这几个解的式子就是解 （按照初中方法化解后得到的那三个方程） 得到的，而这三个方程又是化解原先四个方程得到的，好，先停。

我们开始思考这些方程，原先的四个方程按照初中方法化解，其实就是经过系数加减乘除等使某些变量的系数一样或相反等，然后对应的方程相加或相减，也就约去了这个变量，最后得到实在没法再化解的三个方程。我们方程中间的加减乘除其实就是对系数的加减乘除，所以就把系数单独拿出来，也就是系数矩阵了，

然后加减乘除，则得到行阶梯型矩阵，肯定是三行，有一行已经全部是零了，而这三行不管你如何化解，它肯定不全为0，这个三行的3也就是系数矩阵的秩，也就是（按照初中方法化解得到的三个方程）的个数三，

到这里应该全部通了，所以说
   基础解系中独立向量的个数是等于未知量的个数减去系数矩阵的秩。