两个矩阵特征值相同能否推出秩相同？

shirenfeigui

目前可以推出的是对于特征值中没有0的n阶矩阵，由于行列式的值为特征值乘积，可知行列式不为0，即矩阵可逆，所以矩阵的秩为n。但是当特征值中有0的情况我就不能证明了。

zs61398

个人理解是矩阵非零特征值的个数=秩

因为矩阵化成规范型的时候，非全零行的个数=秩，而非全零行才可能有非零γ，使得D-γE绝对值=0

[ 本帖最后由 zs61398 于 2009-7-17 22:28 编辑 ]

shirenfeigui

通过可逆及其等价来证明有很多条途径。现在讨论的是如果矩阵不可逆，即其特征值中有0，特征值相同是否能推出秩相同

镇魂歌

不能退出 如0阵与仅有一个元素非零但特征值为0，他们的秩就不同

just_1110

如果两个矩阵均为对称阵（即可相似对角化），那么两个矩阵特征值相同，能推出秩相同，否则不一定

shirenfeigui

原帖由 镇魂歌 于 2009-7-18 09:28 发表
不能退出 如0阵与仅有一个元素非零但特征值为0，他们的秩就不同

说得好，豁然开朗啊

shirenfeigui

原帖由 just_1110 于 2009-7-18 13:20 发表
如果两个矩阵均为对称阵（即可相似对角化），那么两个矩阵特征值相同，能推出秩相同，否则不一定

那把题改一改：两个可以相似对角化的矩阵，如果他们的特征值相同，能否推出秩相同？
哈哈，继续研究，矩阵概念无限啊……

n阶矩阵，可以对角化说明有n个线性无关的特征向量。有n个不同特征值的时候有两种情况：1、特征值均不为零，秩明显等于n。2、一个特征值为0，由特征向量的定义Ax=λx，可知Ax=0有非零解，且基础解系中线性无关的向量只有一个，所以A的秩为n-1。
特征值有重根时有三种情况：1、特征值均不为0，矩阵可逆，秩为n。2、特征值中有一个为0，和上面的2相同。3、特征值中0为m重根。由于A可以对角化，可知Ax=0的基础解系中线性无关的向量有m个，所以A的秩为n-m。证完

以上证明概括一下可得1、特征值中没有0个情况，矩阵可逆，秩为n。2、特征值中有m个0的情况，由于A可以对角化，可知Ax=0的基础解系中线性无关的向量有m个，所以A的秩为n-m。

现在发现just_1110真是太强大了！

[ 本帖最后由 shirenfeigui 于 2009-7-18 17:28 编辑 ]

ls580231

已经 看完一遍 线代 不少概念都忘

shirenfeigui

原帖由 ls580231 于 2009-7-18 17:16 发表
已经 看完一遍 线代 不少概念都忘

是这样的。这一部分我虽然说是看第一遍，不过一直在总结不同概念之间的关系。总结一下常见的条件的充分条件、必要条件、充要条件。我觉得“可逆”是线代中一个最大的核心。

jifenglei

是不是需要加上同型矩阵的条件？
如果两个同型矩阵，特征值相同，并且特征值的个数也相同,
他们的秩是不是相同？