关于相似，合同一点自己的想法+

hunter_hsiun · 发表于 2008-9-12 22:05

首先，我在论坛上搜索发现有很多人问到底二次型矩阵是不是都是实对称矩阵，我可以很肯定的告诉大家，非实对称矩阵也是二次型矩阵。

我认为是实对称A与B相似那么必能推出A与B合同。道理很简单，你看，因为实对称矩阵必可推出A相似对角化，有已经知道A与B相似，那么A的特征值与B的就相同。所以A与B的惯性必相同。最终A与B合同。
但是A与B合同确不能推出A与B相似。道理也很简单，AB合同只能说明A与B的惯性相同，但是具体的特征值不一定相同。即使相同也不一定说明A与B相似。相似没有充分必要条件只有四个必要条件，但是书上给出了相似对角化的充分必要条件相信大家都能倒背如流吧。
A与B合同满足什么条件才能说是A与B相似呢？如果存在正交矩阵C使CTAC=B成立（条件1），并且A与B是实对称阵（条件2），才能说明A与B相似？条件2 是不是一定要呢？

以上是我自己总结出来的，有什么不同意很尽管提出来，大家一起讨论

fengxiangyin88 · 发表于 2008-9-12 22:24

[em:12] 今天我刚看的，但是感觉这有点乱，做题的时候真是有点摸不着头脑的感觉！！请教一下我应该怎样复习这一块啊？？[em:14]

gsj5555 · 发表于 2008-9-12 22:46

非实对称矩阵也是二次型矩阵这点我同意
CTAC=B中的C可拟AB就合同
如果 C是正交AB不仅仅合同还相似

条件2 不需要

hunter_hsiun · 发表于 2008-9-13 18:07

就是看教材，和乐哥的线代辅导。教材看三遍以上，辅导看两遍就好~

hunter_hsiun · 发表于 2008-9-13 18:08

我想也是的

shunzihit · 发表于 2008-9-13 18:15

非对称的矩阵的二次型可以展开，再重新组合成对称矩阵的二次型
关于合同来说，是要求有一个矩阵及其转置来决定的，而相似是要求一个可逆矩阵，定义本身就不一样，所以就没有什么联系，只是在正交矩阵上有一个特例，因为正交矩阵的逆势它的转置，所以存在正交矩阵使A和B合同，也就是存在一个可逆矩阵使A和B相似。
从定义上入手比较容易

[ 本帖最后由 shunzihit 于 2008-9-13 18:19 编辑 ]

cyndibaby905 · 发表于 2008-9-13 18:37

我可以很肯定的告诉大家，非实对称矩阵也是二次型矩阵。
===================================================
李永乐的线代讲义上专门说了，非对称矩阵不是二次型矩阵，你查查定义。

CH010H · 发表于 2008-9-13 21:22

我觉得你的结论是错的
非实对称矩阵也是二次型矩阵
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和考试大纲上有出入

levisttp · 发表于 2008-9-13 21:40

顶6楼！！！！

gsj5555 · 发表于 2008-9-14 00:15

非实对称矩阵也是二次型矩阵，更正！！！
应该是非实对称矩阵可以构成二次型多项式

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