何谓 多元函数条件极值点必要条件的几何意义

yamedeo

我做０６年真题　看到一题的解答这么写　又不写清楚　二李的书上也没写　找也找不到
谁帮我指点指点？？？

具体为：
（10）设f (x, y) 与ϕ (x, y) 均为可微函数，且′ (x, y) ≠ 0 y ϕ . 已知( , ) 0 0 x y 是f (x, y) 在约
束条件ϕ (x, y) = 0 下的一个极值点，下列选项正确的是【 D 】
（A）若( , ) 0, ( , ) 0 0 0 0 0 f ′ x y = f ′ x y = x y 则
（B）若( , ) 0, ( , ) 0 0 0 0 0 f ′ x y = f ′ x y ≠ x y 则.
（C）若( , ) 0, ( , ) 0 0 0 0 0 f ′ x y ≠ f ′ x y = x y 则
（D）若( , ) 0, ( , ) 0 0 0 0 0 f ′ x y ≠ f ′ x y ≠ x y 则.
【解析与点评】【解法1】构造格朗日函数F = f (x, y) +λϕ (x, y)
⎪ ⎪
⎩
⎪ ⎪
⎨
⎧
′ = =
′ = ′ + ′ =
′ = ′ + ′ =
( , ) 0
( , ) ( , ) 0 (2)
( , ) ( , ) 0 (1)
F x y
F f y x y y x y
Fx f x x y x x y
y
ϕ
λϕ
λϕ
λ
对（2）由于0 0 y (x ,y ) 0 ϕ ′ ≠ ，得到
0 0 0 0
0 0 0 0
( , ) ( , )
( , ) ( , )
y
x y
fx x y f x y
x y x y
λ
ϕ ϕ
′ ′
= − ′ = − ′ ，
从而有 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y y x f ′ x y ⋅ϕ′ x y = f ′ x y ⋅ϕ′ x y
当0 0 ( , 0 x f ′ x y）= 时，可推出0 0 0 0 ( , ) ( , ) 0 y x f ′ x y ⋅ϕ ′ x y = ， 而由此推不出：
y 0 0 y 0 0 f′(x,y )≠0,或f′(x,y )=0， 因而否定 （A）,（B）。
当( , 0 0 0 ′ ≠ f x y ） x 时，加上0 0 y (x ,y ) 0 ϕ ′ ≠ ,可推出0 0 0 0 ( , ) ( , ) 0 y x f ′ x y ⋅ϕ ′ x y ≠ ，由此可推
出: ( , ) 0 y 0 0 f ′ x y ≠ 。
【解法2】由极值点必要条件得到
0
( , ) ( , ) 0 0 0 0
0
x y x x f x y f x y y
dx x
dz
=
= + ′ 0
( , )
( , )
( , ) ( , )
0 0
0 0
0 0 0 0 =
′
′
= −
x y
x y
f x y f x y
y
x
x y
ϕ
ϕ
当0 0 ( , 0 x f ′ x y）= , 及0 0 y (x ,y ) 0 ϕ ′ ≠ 时，可推出0 0 0 0 ( , ) ( , ) 0 y x f ′ x y ⋅ϕ ′ x y = ， 而由此推不
出： y 0 0 y 0 0 f′(x,y )≠0,或f′(x,y )=0， 因而否定 （A）,（B）。
2006 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题解析点评 水木艾迪考研辅导班命题研究中心
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当( , 0 0 0 ′ ≠ f x y ） x 时，加上0 0 y (x ,y ) 0 ϕ ′ ≠ ,可推出
0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 x y y x f ′ x y ⋅ϕ′ x y = f ′ x y ⋅ϕ′ x y ≠ ，
由此可推出: ( , ) 0 y 0 0 f ′ x y ≠ 。因而选 （D）.
【解法3】由多元函数条件极值点必要条件的几何意义可直接由0 0 y (x ,y ) 0 ϕ ′ ≠ 和
( , 0 0 0 ′ ≠ f x y ） x , 直接得到得到( , ) 0 y 0 0 f ′ x y ≠ .
该题考查条件极值必要条件的一些代数性质，从代数解，除拉格伦日条件外，其它运
用的都是初等代数知识. 若从多元函数条件极值点必要条件的几何意义来考查，做法就很筒
单，有关用这方面内容来设计的题目, 可参见水木艾迪2006 考研数学36 计例16-1。

[ 本帖最后由 yamedeo 于 2007-12-1 16:39 编辑 ]

yamedeo

怎么是乱码，具体就是０６年第１０题选择题

情谊无价

晕，你乱码怎么玩出来的