考研数学 | 常考题型及重点(7)：二次型、随机事件和概率...

华工引路人

题型分析

华工考研院联合华工学长学姐针对考研数学开设考点分析主题。本文着重讲解考研数学《线性代数》和《概率论与数理统计》的重点，考研鹅可自行查缺补漏。

第六章、二次型

思考与点拨

二次型的试题，相对而言，出现的频率较低，一般来说，线性代数的两个大题中，般有个出自矩阵的特征值、特征向量或二次型这两章之中。

二次型的中心问题有两个：

1.化二次型为标准形规X形问题，大纲要求会用配方法和正交变换法化二次型为标准形、(正交变换只能化标准形)规X形(初等变换法不要求)，用矩阵的语言，实对称阵A合同于对角阵Λ，即求可逆阵C，使得CTAC=Λ，或求正交阵Q，使得Q-1AQ=QTAQ=Λ的问题。

2.二次型(及对应矩阵A)的正定性的判别与证明的问题。

注意：

(1)在线性代数中研究二次型，首先要求将二次型表示成矩阵形式，即f(x1，x2，…xn)=XTAX，其中An×nT=A，X=[x1，x2，…xn]T，这样A和f一一对应，r(A)=r(f)，A正定即f正定(见题3.4)。

(2)用正交变换只能化二次型为标准形，且其标准形的系数就是A的特征值(见题1.1，3.1).而正交变换矩阵由A的单位正交特征向量组成，即Q=[ξ10，ξ20，…ξn0]，其中

(3)对具体的数值二次型或实对称阵(或含有参数)，其正定性一般用顺序主子式大于零判别，当然也可化成标准形，f或A正定⇔正惯性指数=n(未知量的个数)，若f(x1，x2，…xn)已是正的平方和，则f(x1，x2，…xn)≥O，只需证明f=O⇔X=0，则X≠0，有f>0.即正定，二次型正定性的证明般用定理(正定的充分必要条件)，最后的办法是用定义。

(4)两个二次型(或实对称阵)合同⇔有相同的正、负惯性指数⇔相同的正惯性指数和秩。

概率论与数理统计

第一章、随机事件和概率

思考与点拨

本章的重点在事件的关系和运算，概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯公式、事件的独立性等。

近几年单独出本章的考题较少，但大多作为基本知识点出现在以后各章的考题中。

大多数考生对本章中的古典型概率感到困难．对古典型概率和几何型概率只要会计算一般难度的题型就可以，不必刻意去做各种较复杂的题型．因为古典型概率和几何型概率毕竟不是重点，应该将本章重点中有关的基本概念、基本理论和基本方法理解彻底和熟练掌握。

第二章、随机变量及其分布

思考与点拨

本章的重点是随机变量及其分布函数的概念和性质，分布律和概率密度，随机变量的函数的分布，一些常见的分布：0-1分布、二项分布、超几何分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布等。

单独出本章考题的不多，近几年大多把本章的知识点结合多维随机变量及其分布的内容一起考查。

一些常见的分布从定义到有关特征必须背熟。这会给解题过程带来很大方便．对于分布函数，分布律和概率密度的定义及它们成立的充分必要条件必须掌握。至于求随机变量的函数的分布，只要记住步骤而不必去背一般公式。