【华工考研院】考研数学 | 常考题型及重点(5)：矩阵、向量

华工引路人

题型分析

华工考研院联合华工学长学姐针对考研数学开设考点分析主题。本文着重讲解考研数学《线性代数》的重点，考研鹅可自行查缺补漏。

线性代数

第二章、矩阵

思考与点拨

矩阵及其运算是线性代数的核心，后续各章的基础，考点较多，重点考点是逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程，这几年还频频出现初等变换与初等阵的试题，应注意到的大致有以下几部分内容.

1.基本运算：要搞清概念，熟练掌握运算规则并保证运算的正确性，重点关注以下几点。

(1)搞清能否运算，怎样运算，运算结果是什么.

(2)搞清数的运算、行列式的性质，与矩阵运算的区别.

(3)充分利用运算规则，如计算中结合律、分配律的利用，但矩阵运算没有交换律，消去律.

2.逆矩阵：理解逆矩阵的概念，掌握运算法则，掌握矩阵可逆的充分必要条件，会证矩阵可逆，并能正确求出逆矩阵。

求逆矩阵的方法：对数值矩阵，一般有(1)公式法.A-1=1/︳A ︳A＊，特别适用二阶矩阵；(2)初等变换法.[A ︳B]→[E ︳A].对抽象矩阵，一般有(3)定义法，化成AB=E，则A可逆，且A-1=B；(4)化成已知可逆矩阵的乘积，即若化成A=BC，其中B，C均是可逆阵，则A可逆，A-1=(BC)-1=C-1B-1.

证明A可逆的方法：

A可逆⇔︳A ︳≠0⇔AX=0有唯一零解⇔AX=b有唯一解⇔r(A)=n⇔A的行(列)向量组线性无关，或用反证法。

3.伴随矩阵A＊：理解伴随矩阵的概念，注意Ai j与A＊的联系，能熟练得出A，A-1，A＊，(A＊)-1，︳A ︳，︳A＊︳之间的关系，如

(1)︳A＊︳=︳A ︳n-1，(2)若A可逆，(A＊)-1=1/︳A ︳A，A＊=︳A ︳A-1。

若公式中将A代入kA时，有

(kA)(kA)＊=︳kA ︳E，得(kA)＊=kn-1A＊；

若公式中将A代入A＊时，有

A＊(A＊)＊=︳A＊︳E，得(A＊)＊=︳A ︳n-2A.

A＊的秩只有n，1，0三种可能，且

4.矩阵方程：矩阵方程的试题较多，这类试题具有定的综合性，既考查了利用矩阵运算法则、性质等把方程化简，又考查了具体的数值计算。解这类试题要求分二步走，“先化简”，写出所求矩阵的最简表达式，再代入具体的数值矩阵，进行数值运算(如题2.3)。

5.初等变换、初等阵、矩阵的秩及等价矩阵理解初等变换的概念，了解初等阵及其性质，能将矩阵的初等变换表达成矩阵乘初等阵，反之能将矩阵乘初等阵翻译成作初等变换(如题2.1～2.3)理解矩阵秩的概念，掌握用初等变换求秩及逆矩阵的方法。

6.分块阵：了解分块阵及其运算，会求分块对角阵的n次幂及分块对角阵的逆等。

第三章、向量

思考与点拨

向量组的线性相关性是线性代数中的难点，也是考试的重点，考生应深刻理解线性相关性的内在的含义外，还应与线性表出、向的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解。

本章试题大致有以下四个部分:

1.向量的线性表出

向量β能否由向量组α1，α2，…αs，线性表出⇔方程组α1x1+α2x2+…αs x n=[α1，α2，…αs]X=An×s X=β是否有解，其解即是表出系数⇔r(A)和r(A︳β)是否相等。

若α1，α2，…αs线性无关，α1，α2，…αs，β线性相关，则β可由α1，α2，…αs线性表出，且表出法唯一。

若α1，α2，…αs线性相关，则至少存在一个向量αi可由其余向量线性表出。

向量组(I) β1，β2，…βs中任一个向量βi(1，2，…，s)都可由(Ⅱ) α1，α2，…αs线性表出，称向量组(I)可由向量组(Ⅱ)线性表出，两组向量可以相Ⅰ互表出，则称两向量组等价，等价向量组等秩，反之不成立。

2.向量组线性相关性的判别和证明

要说明或证明向量组α1，α2，…αs线性相关，只要求出(观察出)有不全为零的数k1，k2，…ks，使k1α1+k2α2+…+ksαs=0.即说明或证明方程组有k1α1+k2α2+…+ksαs=0有非零解。

证明一组向量α1，α2，…αs线性无关，有两类题型：(1)若题设条件中只有一组向量(附有一些其他条件)，则应利用定义证明(实质上是反证法)；(2)若已知一组向量线性无关，要证另一组向量也线性无关，则可以用定义证明，也可以用等价向量组、秩、方程组等方法证明(例题2.5)。

3.求向量组的极大线性无关组及向量组的秩

应理解向量组的极大线性无关组的概念，并掌握其求法。

则向量组α1，α2，…αs和α1＇，α2＇，…αs＇是等价向量组，等价向量组等秩。

A=[β1，β2，…βs][ β1＇，β2＇，…βs＇]，

则β1，β2，…βs与β1＇，β2＇，…βs＇中任何对应的部分向量组有相同的线性相关性。向量组极大线性无关组不唯一，但极大无关组的向量个数是唯一的，此数即是向量组的秩。

4.向量空间，要求了解向量空间、子空间、解空间，基、维数，坐标等概念，了解基变换公式、坐标变换公式，会求过渡矩阵，掌握施密特标准正交化方法，这部分内容相对试题较少，从1987年考研数学统考以来，共出过4题，二个题是过渡矩阵的(例题1.1)，一题是求解空间的标准正交基，一题是求一个向量在一组基下的坐标。