考研数学 | 常考题型及重点(4)：常微分方程、行列式

华工引路人

题型分析

华工考研院联合华工学长学姐针对考研数学开设考点分析主题。本文着重讲解考研数学的重点，考研鹅可自行查缺补漏。  

第八章、常微分方程

思考与点拨

微分方程问题是积分问题的延伸，有着极为广泛的应用，是历年考研必考内容.在高等数学部分，微分方程在数学一中平均每年所占分数约为15％.

本章的考试类型及知识点大致有：

1.12种典型类型求解以及自由项为特殊情形时的线性非齐次方程特解y＊的设定：

(1)一阶5种类型求解(2005  (2)题，2006一(2)题，2008二(9)题，1992一(4)题，1993二(4)题，1993三(3)题，1994五题均考过)；

(2)二阶可降阶3种类型求解(2000一(3)题，2002一(3)题)；(3)二阶及高阶常系数线性齐次方程与非齐次方程3种类型求解(1999 —(3)题，2007二(13)题，2008一(3)题，2009二(10)题)；

(4)欧拉方程求解(2004一(4)题)；

(5)y＊的设定(数学(二)考过).

2.线性非齐次微分方程与对应的线性齐次微分方程的解的关系：

(1)已知非齐次方程的解求对应的齐次方程的(通)解(未考过)；

(2)已知非齐次方程足够多的解求该非齐次方程的通解(1989二(3)题考过，2006数学(三)、(四)考过.

3.已知(通)解求微分方程：

(1)未说明方程是什么形式，已知通解求微分方程(未考过)；

(2)已知二阶(或一阶或更高阶)线性方程的通解(或若干个线性无关的特解)求该方程(2001  (1)题，2009二(10)题).

4.自由项为绝对值函数或有间断点的函数的线性微分方程求解：

(1)自由项为绝对值函数的情形(未考过)；

(2)自由项为有跳跃间断点的函数的情形(数学(三)1999六题考过).

5.经变量变换解微分方程：

(1)经反函数变量变换(2003七题)；

(2)给出已知的变量变换(数学(二)考过多次).

6.将积分方程或偏微分方程化成微分方程求解：

(1)积分方程化为微分方程求解(1991二(2)考过)；

(2)偏微分方程化为微分方程求解(1997四(2)题，2006三(18)题).

7.微分方程的应用

(1)几何方面(1999五题，1995五题考过，1996六题考过)；

(2)物理方面(1998五题，2004三(16)题)；

(3)变化率方面(1997三(3)题，2001八题)。

由上可见，本章常考的是“1”与“7”.有许多类型未命过题或很少命题，命题空间很大，例如1(5)，4，以及6可以与其他章节结合来命题，值得重视。

线性代数

第一章、行列式

思考与点拨

行列式在整个试卷中所占比重不是很大，一般以填空题，选择题为主，但它是必考内容当然，不只是考查行列式的概念、性质、运算，还会涉及到其他各章、节的内容，例如矩阵的可逆、矩阵的秩、向量的线性相关性、线性方程组、矩阵的特征值、正定二次型等等，如果试卷中没有独立的行列式的试题，那必然会在其他章节的试题中得到体现。

一般有关行列式的试题有两大类：计算题和判断题

   

1.行列式的计算题.例如：

计算行列式

计算行列式的值

这类属于数字型的直接计算题，一般利用性质，消零展开或消零化成上(下)三角形行列式即可解决。

多数行列式的试题，属于与后续章节有关的、抽象型的行列式的计算题，如1.1题，1.2题这类题增加了考核的知识点，有一定的综合性.要求考生充分利用题设条件，通过知识的内在联系，化简、运算，最后得出所求行列式的值。

(2)行列式的判别题，主要是判别行列式是否为零.例2.1题，因为行列式是否为零对矩阵是否可逆、是否满秩，对方程组An×n X=O是否有非零解，An×n X=b是否有唯一解，对A中的列(行)向量组是否线性相关等都起到了“分水岭”的作用，会引起矩阵重要性质的变化。

︳An×n  ︳是否为零，除直接计算出︳A ︳=O(或≠0)，或计算出︳A ︳=k︳A ︳，其中k≠1，︳An×n  ︳=0(≠0)⇔An×n不可逆(可逆)

⇔r(A)<n< span="">，不满秩(=n，满秩)

⇔An×n X=O有非零解(只有零解)

⇔An×n X=b有唯一解(解不唯一；可能无解；若有解，则为无穷解)

⇔An×n 的n个行(列)线性相关(线性无关)

注意这些都是充分必要条件，可以相互判别。