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[其他] 考研数学 | 常考题型及重点(3):多元函数积分学、无穷级数

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发表于 2021-10-20 09:25 | 显示全部楼层 |阅读模式
题型分析
华工考研院联合华工学长学姐针对考研数学开设考点分析主题。本文着重讲解考研数学的重点,考研鹅可自行查缺补漏。  


第六章、多元函数积分学
思考与点拨
多元函数积分学包括各类积分的概念、计算和应用;格林公式、高斯公式和斯托克斯公式及其应用;平面曲线积分与路径无关及全微分式的原函数问题等.在历年的考试中多元函数积分学占有最重要的地位,平均分数约占高等数学总分的1/4.
本章的考题类型及知识点大致有:
1.二重积分的计算及应用:
(1)二重积分在直角坐标中的计算(单独未考过,在其他题中出现过);
(2)二重积分在极坐标中的计算与直极互化(2006二(8)题,2001八题,2005三(15)题,2006三(15)题);
(3)交换积分次序(2001一(3)题,2004二(10)题,1990一(4)题考过);
(4)绝对值函数的二重积分(二次积分)的计算(未考过);
(5)分块函数的二重积分(二次积分)的计算(2002五题,2005三题);
(6)利用对称性、轮换对称性化简计算(2003五题,2006三(15)题,2009~(2)题);
(7)二重积分的证明题与二重积分的估值(2003五题);
(8)三重积分的应用(2001八题).

2.三重积分的计算及应用:
(1)三重积分在直角坐标中的计算(单独未考过);
(2)三重积分在球面坐标与柱面坐标中的计算(2005一(4)题,2006一(3)题,1997三(1)题,2000八题,2003八题,2009二(12)题);
(3)利用对称性、轮换对称性化简计算(2000八题,1995三(2)题考过);
(4)三重积分的应用(2000八题).
   
3.化多重积分为定积分:
(1)化二重积分为变限积分求导问题(2004二(10)题);
(2)化二重积分为定积分求其中未知函数(数学(三)1997八题考过);
(3)化其它积分为定积分或二重积分的证明题(2003五题,2003八题).

4.第一型曲线积分与第型曲面积分:
(1)计算(1999八题,2009二(11)题);
(2)利用对称性、轮换对称性化简(1998一(3)题,2000二(2)题,2007二(14)题);
(3)应用(未考过).
   
5.平面第二型曲线积分及应用:
(1)用参数式计算(2004—(3)题,2000五题,2003五题);
(2)用格林公式或加、减弧段格林公式法(1999四题,2003五题,2008三(16)题);
(3)路径无关问题与原函数法(1998四题,1999四题,2002六题,2005三(19)题,2006三(19)题,2007一(6)题);
(4)与微分方程有关的问题(2005三(19)题);
(5)挖洞法(2000五题);
(6)应用(1990九题考过).
   
6.第二型曲面积分及应用:
(1)用投影法计算(1998六题,2001六题,2004三(17)题);
(2)用高斯公式或加、减曲面片高斯公式法(2005一(4)题,2006一(3)题,1998六题,2000六题,2004三(17)题,2007三(18)题,2008二(12)题);
(3)转换投影法或化成第一型曲面积分计算(2001六题,2004三(17)题);
(4)挖洞法(2009三(19)题);
(5)与微分方程有关的问题(2000六题).
   
7.空间第二型曲线积分:
(1)用参数式计算(1997三(2)题,2001六题);
(2)用斯托克斯公式计算(1997三(2)题,2001六题);
由以上可见,本章在数学(一)中的地位至关重要,考分占总分的1/6,考得最多的是(1)二重积分:包括极坐标中计算,交换积分次序,利用对称性、轮换对称性化简计算;
(2)三重积分:包括在球面坐标、柱面坐标中的计算,利用对称性、轮换对称性化简计算;
(3)平面第二型曲线积分:包括用参数式计算,用格林公式或加、减弧段格林公式计算,路径无关问题的讨论与路径无关问题计算该积分,原函数法与求原函数,与微分方程相结合的题;
(4)第二型曲面积分:包括用投影法计算,用高斯公式或加、减曲面片高斯公式法计算,转换投影法计算或化成第一型曲面积分计算,与微分方程相结合的题。

以上各类题的计算,都有一套规X的方法.关键是选择方便而有效的方法,可以起到事半功倍的作用.以上诸项中,“3”以及“5(3)”,有时涉及一些理论,可能会有点困难.但是,正如俗话所说“熟能生巧”,熟了也就不难了。


第七章、无穷级数
思考与点拨
级数部分包括级数的若干基本概念,判别级数的敛散性(包括条件收敛与绝对收敛)的各种方法,幂级数的收敛性与和函数的性质,幂级数收敛域的求法,求幂级数的和函数与求函数的幂级数展开式的方法,还有傅里叶级数和它的和函数等.此部分在历年试题中的平均分数约占高等数学总分的l/6。

若分为数值级数、幂级数与傅氏级数三大部分,则幂级数部分考得最多,占级数总分的一半还强,求幂级数的收敛域,实质上就是级数敛散性的判断,若把它划入级数敛散性判断部分,这部分的分数将接近级数总分的一半。

求一般函数项级数的收敛域在考试大纲中也是要求的,但从未考过.不过这个问题实质上也是级数敛散性的判断问题。
本章的考题类型及知识点大致有:
   
1.数项级数判敛:
(1)给出具体的数项级数判敛(1999二(3))题考过,1992二(2)题考过,1995二(4)题考过;
(2)已知某抽象数项级数的敛散性,讨论与此有关的另一些级数的敛散性(2000二(3)题),2002二(2)题,2004二(9)题,2006二(9)题,2009一(4)题);
(3)通项由某些条件(具体或抽象)给出,讨论该级数的敛散性(1997六题,1998八题,1999九题,2004三(18)题);
(4)讨论交错级数或任意项级数的敛散性(2000七题).
   
2.关于幂级数:
(1)求幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域(2000七题,2005三(16)题,2008二(11)题,1995一(4)题考过);
(2)已知幂级数在某点收敛或发散或条件收敛,或已知收敛半径,讨论另一与此有关的幂级数在另一点处的敛散性,或求收敛半径、收敛区间(的X围)(1997一(2)题);
(3)将函数展开成x-x0的幂级数并求收敛域,并求某数项级数的和(2001五题,2003四题,2006三(17)题);
(4)求幂级数的和函数或可通过幂级数求和的数项级数求和(2005三(16)题,1990四题考过);
(5)验证或设某幂级数满足某微分方程从而求此幂级数的和函数(2002七题,2007三(20));
(6)求某些数项级数的和(1999九题,2009三(16)题).
   
3.傅里叶级数:
(1)求傅里叶系数或傅里叶级数(2003一(3)题,2008三(19),1991五题考过,1993一(3)题考过);
(2)按正弦展开或按余弦展开求其傅里叶系数或傅里叶级数(1995四(2)题考过);
(3)按狄利克雷定理求傅里叶系数在某点的收敛和(1999二(3)题,1989二(4)题考过,1992一(3)题考过);
(4)由傅里叶级数讨论与此有关的另一些数项级数的和(2008三(19)题,1991五题考过)

由以上可见,数项级数判敛问题中的1(1),早期考过几次,后来不考了.近期考得多的是1(2)与1(3).函数展开成幂级数并讨论其成立X围,以及简单幂级数求和,仍是考试热点,考生对此应引起足够重视.函数展开成幂级数采用间接展开法,有一套规X步骤.简单幂级数求和,虽说有一点难度,但作为考研来说,处理的手法还是有法可依.傅里叶级数的考题较简单,由于求傅里叶级数计算量大,所以考得较少,按狄利克雷定理求某点处的收敛和,相对说来考得较多,考生对此应足够重视。

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