考研数学 | 常考题型及重点(2)：一元函数积分学、向量代...

华工引路人

题型分析

华工考研院联合华工学长学姐针对考研数学开设考点分析主题。本文着重讲解考研数学的重点，考研鹅可自行查缺补漏。  

第三章、一元函数积分学

思考与点拨

定积分与不定积分的概念及运算是积分学的基础，利用定积分表示与计算一些几何、物理量是积分学的基本应用，每年必考，本部分分数在数学一中平均约占高等数学部分的17％.

本章的考题类型及知识点大致有：

   

1.不定积分与定积分的计算：

(1)分段函数求不定积分(未考过)；

(2)分段函数求定积分与变限积分(数学(二)考过)；

(3)计算带绝对值号的定积分(数学(二)考过)；

(4)计算般不定积分(2004  (2)题，2001三题)；

(5)计算一般定积分(2000一(1)题，2007二(11)题)：

(6)计算反常积分(2002  (1)题)；

(7)计算被积函数含有导数或变限积分的积分(2005三(17)题)。

2.定积分的应用：

(1)几何应用(1997二(2)题，2003三题，2007一(3)题，2009一(3)题，2009三(16)题，2009三(17)题)；

(2)物理应用(1997七题，2003六题)；

(3)利用积分和式求极限(1998七题)。

3.定积分(变限积分)的证明题：

(1)不等式问题(包括估值问题)(1997二(2)题，1997二(3)题)；

(2)零点问题(1998九题，2000九题)；

(3)关于奇、偶函数、周期函数的证明题(1999二(1)题，2005二(8)题，2008三(18)题)：

(4)变限函数关于单调性的题(2009一(3)题)；

(5)变限函数求导问题(1999一(2)题，1998二(1)题，1997五题，2008一(1)题)；

(6)积分中值定理的应用(2000九题)。

本章虽然各类型大都考过，但变换具体函数去命题，考题空间仍很大，读者注意举一反三，掌握一般方法。

第四章、向量代数与空间解析几何

思考的与点拨

向量代数主要是向量的表示法与向量的代数运算(加减、数乘、点积、叉积)，空间锯析几何主要是曲面与空间曲线的方程，重点是平面、直线以及常见曲面(球面、柱面以及旋转面等)的方程，历年考题中直接对本部分命制的题目不多，且多为选择题或填空题.

本章的考题类型及知识点大致有：

1.关于向量运算：

(1)给出一些关系求另一些关系(1995一(3)考过)；

(2)两向量平行、垂直、交角、模等问题(未考过)；

(3)三点共线与三向量共面问题(未考过)；

   

2.直线与平面问题(大都与空间曲面的切平面、空间曲线的切线相结合的问题)：

(1)求直线方程(1998三题)，2000一(2)题，1992二(3)考过)；

(2)求平面方程(1997四(1)题，2000一(2)题，2003一(2)题，1989二(2)题，1990一(1)题，1991一(3)题，1994一(2)题，1996一(2)题都考过)；

(3)平面与直线的相对位置(平行、垂直、交角等)(1993二(3)题，1995二(1)题都考过)；

(4)点到平面的距离(2006一(4)题，1999八题).

   

3.二次曲面的题(大都与第六章相结合，给出二次曲面，要求知道它的位置及大致图形。二次曲面中常用的图形为椭球面(包括球面)、旋转抛物面、锥面、母线与坐标面平行的柱面.求旋转面的方程(2009三(17)题)。

由以上列举看出，近十年来本章单独考的不多，与第五章相结合的考过四次.应该说是属于不常考的章节.但基本公式、基本方法仍应掌握。

第五章多元函数微分学

思考与点拨

多元函数微分学包括有若干基本概念及其联系，多元函数的复合函数求导法及其应用，梯度向量与方向导数的计算方法，多元函数微分学的几何应用(求空间曲线的切线、法平面与空间曲面的切平面、法线)极值判断与最值问题等，在历年考试中多元函数微分学的平均分数约占高等数学的l／7，也是比较重要的.

本章的考题类型及知识点大致有：

   

1.求偏导数，全微分，方向导数，梯度，散度，旋度：

(1)给出具体函数关系的复合函数求偏导数或全微分(1994  (3)考过)；

(2)给出抽象函数关系的复合函数求偏导数或全微分(1998一(2)题，2005二(9)题，2006二(10)题，2000四题，2001四题，2007二(12)题，2006三(15)题，2009二(9)题)；

(3)给出方程经变量变换化简方程(1997四(2)题，1996四(2)也考过)；

(4)给出具体的方程求隐函数的偏导数或全微分(199l一(2)考过)；

(5)给出抽象的方程(方程组)求隐函数的偏导数或全微分(1999三题)；

(6)求方向导数，梯度，散度，旋度(200l一(2)题，2005一(3)题，3.5(2002八题，2008一(2)题，1992一(2)也考过)。

2.函数在一点处极限的存在性，连续性，偏导数的存在性，全微分存在性与偏导数的连续性的讨论与它们之间的因果关系：

(1)函数在点处极限不存在性讨论(1997二(1)题)；

(2)隐函数的存在性(2005二(10)题)；

(3)偏导数的存在性(1997二(1)题)；

(4)全微分的存在性(200l二(2)题)；

(5)函数在一点处连续性，偏导数存在性，全微分存在性与偏导数的连续性的因果关系讨论(2002二(1)题)。

3.曲面的切平面，曲线的切线：

(1)曲面的法向量、切平面与法线(2000一(2)题，2003一(2)题，1997四(1)题，1999八题，1993一(2)也考过，1994一(2)也考过)；

(2)曲线的切向量、切线与曲线的法平面(2001二(2)题)。

   

4.极值与最值：

(1)按定义讨论极值(2003二(3)题)；

(2)极值的必要条件，驻点的讨论(2006二(10)题)；

(3)求极值(含拉格朗日乘数法)与最值(2002八题，2007三(17)题，2008三(17)题，2009三(15)题)；

(4)求隐函数的极值(2004三(19)题)。

由以上可见，本章各知识点大都考过，主要是计算.考题频率最高的是抽象函数关系的复合函数求偏导数，其次是方向导数，曲面的法向量与切平面(与空间解析几何相合).关于概念(见以上“2”)方面的题，应引起注意.关于“4”极值与最值的题，出题频率虽然不高，但有一定的综合性与难度，从考试结果看，这部分碍分不理想，考生不应忽视