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[真题] 考研数学 | 常考题型及重点(1):函数、极限、连续

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发表于 2021-9-27 09:42 | 显示全部楼层 |阅读模式
题型分析
广考研院联合广工学长学姐针对考研数学开设考点分析主题。本文着重讲解考研数学的常考题型及重点汇总,考研鹅可自行查缺补漏。  
第一章、函数、极限、连续
思考与点拨
“函数、极限、连续”这一部分的概念及运算是高等数学的基础,它们是每年必考的内容之一,数学一中本部分分数平均每年约占高等数学部分的10%.
本章的考题类型及知识点大致有:
1.求函数的表达式:
(1)给出函数在某一区间上的表达式及某些条件,求该函数在另一区间上的表达式(数学(二)考过);
(2)求分段复合函数的表达式(1990一(3)题考过,数学(二)考过多次)。

2.数列的极限的概念理解与运算定理:
(1)数列极限的概念的理解及定义的等价叙述(数学(二)考过);
(2)运算定理的正确运用与性质的正确理解(2003二(2)题);
(3)求数列的极限:
①化成积分和式求极限(1998七题);
②夹逼定理求极限(1998七题,2005二(7)题);
③单调有界定理求极限或讨论极限的存在性(2006三(16)题,2008一(4)题);
④化成函数极限求极限(2006三(16)题)。

3.函数的极限:
(1)求七种待定型的极限(1998一(1)题,1999一(1)题,2003一(1)题,2006一(1)题,2008三(15)题,2003三题,1997五题);
(2)运算定理的正确使用与性质的正确理解(1997一(1)题,2000三题,2004二(8)题):
(3)已知某些极限求其中的某些参数(2009一(1)题);
(4)已知某函数的极限,求与此有关的另一函数的极限(数学(二)考过)。

4.无穷小的比较:
(1)给了若干个无穷小,比较它们的阶的高低(2004二(7)题,2007一(1)题);
(2)给了两个无穷小,已知一个是另一个的等价(或高阶)无穷小,求其中的参数(2002三题)。

5.函数的连续与间断:
(1)讨论初等函数的间断点及类型(数学(二)考过多次);
(2)讨论分段函数的连续性或由连续性确定其中的参数(数学(二)考过多次);
(3)函数以极限形式表达,讨论该函数的连续性(数学(二)考过多次);
(4)已知某些函数的连续性(间断点),讨论与此有关的另一些函数的连续性(间断点)(数学(二)考过多次);
(5)连续函数介值定理的应用(2005三(18)题,2004三(18)题,数学(二)考过多次)。

读者请注意,上面提到的类型,数学(一)有许多未曾考到,所以本章尚有相当大的命题空间.其次,以后各章要用到本章内容,从而掌握本章内容是十分基础、十分重要的。
第二章、一元函数微分学
思考与点拨
导数与微分是微分学的基本概念,导数与微分的计算是微分学的基本计算,导数与微分的应用——利用导数研究函数的性质是微分学的基本内容,每年必考,本部分分数在数学中平均约占高等数学部分的17%.
本章的考题类型及知识点大致有:
1.求导数与微分,导数的几何意义:
(1)显函数求导数(未考过);
(2)隐函数求导数(2002一(2)题,2008二(10)题);
(3)参数式求导数(1997一(3)题);
(4)在直角坐标中求切线斜率、切线方程(2004一(1)题),2002四题,2003三题,2005三(17)题);
(5)在极坐标中求切线斜率、切线方程(1997一(3)题);
(6)奇、偶、周期函数的导数(2005二(8)题);
(7)变限积分求导数(2002四题,1997一(2)题,1998二(1)题,1999二(1)题,1997五题);
(8)导数的变量变换(变量变换变化微分方程)(2003七题)。

2.按定义求一点处的导数,可导与连续的关系:
(1)讨论分段函数在分界点处的可导性或求导数(2005二(7)题);
(2)按定义讨论某点的可导性(1999二(2)题);
(3)已知某极限存在讨论某点可导,或反之,或利用导数求极限,利用极限求某点处的导数(200l二(3)题;2007  (4)题;2009三(18)题);
(4)已知某点可导,求其中参数(2002三题);
(5)绝对值函数求导数(1998二(2)题);
(6)由极限表示的函数的可导性(2005一(7)题)。

3.讨论函数单调性、极值、凹凸性、拐点、渐近线、曲率:
(1)单调性与极值(2003二(1)题,2004二(8)题);
(2)增量、导数与微分的关系(1998二(3)题,2006二(7)题);
(3)凹向与拐点(2005三(17)题);
(4)渐近线(2005—1)题,2007一(2)题);
(5)曲率(1991九题考过).

4.中值定理及其应用:
(1)不等式的证明(2000二(1)题,1999六题,2004三(15)题);
(2)零点问题(2005三(18)题,1998九题,2000九题,2007三(19)题);
(3)有关函数与导数的关系(2001二(1)题,2002二(3)题,2007一(5)题);
(4)有关“中值”的极限问题(2001七题);
(5)泰勒公式的应用(1999六题,2001七题,2002三题);
(6)中值定理的证明(2009三(18)题).

由上列举可见,本章的知识点及考题类型几乎全部考到,频率出现多的是:变限积分求导数,按定义求导,不等式与零点问题,泰勒公式的应用.在按定义求导数时,应与使用洛必达法则的条件相区别.其他频率出现少的,也应注意,例如导数的几何意义、单调性与极值、绝对值函数求导数等。

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