注册岩土基础考试复习资料

七号柠檬水

第1章  空间解析几何
第一节：向量的概念及运算
  1.有关概念
（1） 向量是有大小又有方向的量。
（2)向量的坐标：设向量的起点为，终点为，则
      
（3）向量的模：

（4）向量的方向角与方向余弦：
向量与轴、轴、轴正向的夹角、叫向量的方向角。 叫做的方向余弦，有
  ，
（5）单位向量：模为1的向量。  
    1）向量的单位化：与向量同方向的单位向量  
2）基本单位向量：与轴、 轴、轴同方向的单位向量分别为

（6）零向量：模为0的向量。
（7）两向量相等：模相等且方向相同，记为
（8）两向量的夹角：将两向量的起点放在一起，他们所夹的不超过的角。
（9）向量在轴上的投影：向量在轴上的投影  
2.向量的线性运算
（1）两向量的和
1）定义：
    2) 运算律：
    交换律  
结合律  
（2）数与向量相乘
1) 是数，是向量，
    2) 运算律
   

 3.向量的数量积（点积）
1．定义：两向量的数量积是一个数，
2．坐标表达式：
3．运算律：满足
    交换律  
分配律  
注：不满足结合律
4．两向量垂直的充分必要条件：
5．两向量夹角的余弦公式:
4.向量的向量积（叉积）
1.定义：两向量的向量积是一个向量，记为，其模：，
方向： 且符合右手规则 。
2．坐标表达式:
   
3．运算律：满足分配律  
注：不满足交换律，有  ，也不满足结合律。
4.两向量平行（共线）的充分必要条件：

【例题1-1】设均为非零向量，则下面结论正确的是：
(A)是与垂直的充要条件        
(B) 是与平行的充要条件              
（C） 是与平行的充要条件            
(D) 若是常数），则   
解：是与平行的充分必要条件，应选C。

【例题1-2】设,,与都垂直的单位向量为:
       (A)               (B)  
       (C)            (D)
解:由向量积定义知，，故作向量的向量积,再单位化则可.由于
   ,取，再单位化得,故应选(D).
【例题1-3】设都是向量，下列说法正确的是（    ）。
（A）             （B）
（C）        （D）
解：由于向量的数量积不满足结合律，（B）和(D)选项不成立，再由于向量的向量积不满足交换律，(C)选项也不成立；而，故选（A）
【例题1-4】若向量满足，且,则等于：
A.                       B.   
       C.                  D. 不能确定
解：，

5.向量的混合积
（1）定义：三向量的混合积记为
（2）计算：
（3）性质：
    1）
2）三向量共面  
【例题1-5】已知，若共面，则等于：
（A） 1或2     （B） 或2      （C）或     （D） 或   
解: 由共面,则，计算行列式可得，，解得和，故应选（C）