考研数学：关于原函数存在性的问题

膜法师Jameson

今天看到一个几年前的问题，写了一个回答，可惜发不了，就新发一个帖子吧，问题和回答如图

问题大概是：一个连续函数的导数图像出现了一个无穷间断点，而老师说过函数有无穷间断点，那么原函数不存在，这是否矛盾？

我思考了一下这个问题，写个回答理清一下思路：
1.讨论原函数存在的问题，必须给出一个具体区间，比如说：某个函数f(x)是否在R上有原函数F(x)，而此时，如果说函数f(x)在这个所讨论的区间内存在无穷间断点，那么在这一点上就不可能有原函数。不过这倒不是因为间断点的原因，因为无穷间断点是该点极限不存在，不代表f(x)在该点处没有定义
问题是：就算你在这一点处给f(x)补上了定义，比如f(x)=0，也不可能找到一个原函数F(x)在这一点处存在导数值F\'(x)
因为假设f(x)在这一点上有原函数F(x)，根据导数极限定理，F(x)在该点处左导数等于导函数f(x)在该点处的左极限，为无穷大，右导数同样为无穷大，那么F(x)在该点处导数F\'(x)不存在，与导函数f(x)在该点处有定义f(x)=0矛盾
因此，应该这么表述：f(x)在某个区间D上均有定义，但存在一个无穷间断点，那么f(x)在区间D上不存在原函数

2.同样的：f(x)在某个区间D上均有定义，但存在一个第一类间断点，那么f(x)在区间D上不存在原函数，具体的原因我就不说了，网上找一找都有

3.如果是振荡间断点，就不一定，因为可能可以通过补充定义的方式使得其在整个区间上存在原函数，那个经典例子我就不弄出来了，手机上不方便打

4.回到题主的这个问题，这个导函数f(x)的图像说明，f(x)不可能在R上存在原函数，而且它在那个间断点处本身也没有定义，更谈不上有没有原函数的问题，但不妨碍f(x)在除了这个点的左右区间上有一个原函数F(x)，而且F(x)在R上连续
也就是说在F(x)这个点上连续那是没有问题的，因为F(x)连续并不代表可导，类似的例子有F(x)=x^(1/3)在0处连续但不可导，同样存在类似图像的导函数f(x)，在0处是无穷间断点
另外说个类似的例子f(x)=1/x，我们默认它是连续的，而且有：连续函数必存在原函数，所以存在原函数F(x)=ln|x|，但实际上它只在定义域上连续，在R上并不连续，但是这并不矛盾，因为我们说它有原函数，默认的区间都是不包括0的，函数在没有定义的点讨论是否存在原函数又有什么意义呢

5.说到间断点的问题，f(x)=lnx，在0的右侧有定义，在左侧没有定义，而0处的右极限是无穷，那么0是否属于无穷间断点？
答案是不属于，因为间断点的讨论需要f(x)在该点处去心邻域，也就是左右都存在定义

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