已知f(x)在a处可导，当△x—＞0时，f(a+△x)可导吗

yangrongmao · 发表于 2020-8-29 10:24

已知f(x)在点a处可导，那么当△x—＞0时，f(a+△x)是否一定可导？为什么？如果不一定可导，那么请举出不可导的例子。
楼主的问题也可以表述万：已知f(x)在点x=a处可导，那么f(x)在a的某邻域内是否一定可导？如果不一定可导，那么请举出一个例子，使得f(x)仅在某一点处可导，而在这一点的任意邻域内都不可导。
谢谢大神！

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想考华科鸭 · 发表于 2020-8-30 20:42

f（x）=x²D（x），其中D（x）为狄利克雷函数。

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yangrongmao · 发表于 2020-9-2 13:06

想考华科鸭发表于 2020-8-30 20:42
f（x）=x²D（x），其中D（x）为狄利克雷函数。

您好！首先感谢您的回答！但是，我还是不太明白，您给的函数f（x）在实数范围内每一点都不连续，按照大学高等数学教材里的定理，可导必连续，不连续的函数是不可导的，所以我认为f(x)是不可导的。请大神不吝赐教。万分感谢！

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Wu2018 · 发表于 2020-9-3 21:52

以x为有理数和无理数进行分段，
令f(x)=0（x为有理数
令f(x)=x^2（x为无理数）
可以得到x在0点可导连续，而在其他任何地方均不可导且不连续

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[交流答疑] 已知f(x)在a处可导，当△x—＞0时，f(a+△x)可导吗