求助关于fx在某点处几阶可导与洛必达使用条件的疑惑？

gyu1

做题的时候总遇到下面几个问题搞不清，求大牛们赐教
①有道题说fx在x=0处3阶可导，邻域2阶可导，为什么答案上说洛必达法则中只能出现2阶，3阶就不能用洛必达了？
②在某一点处可导不能说明在这点处邻域可导，那反过来某点处邻域可导，能说明在这一点处也可导么？
③如果说单单就告诉你fx在x=0处三阶可导，除了知道洛必达不能出现3阶，还能知道什么条件，能不能通过可导即连续推出fx二阶导数在x=0处连续？

麻烦大家了。

zhang_14782

不知我说的对不对哈~求高手指正~~~
1、洛必达的使用条件，要求在邻域内可导（因为洛必达用的时候是一个趋向性，即 lim 所以要求邻域可导），而你在x=0处三阶可导，不一定在其邻域内也三阶可导，实际上三阶可导也可以推出二阶邻域可导
2、一点可导和邻域可导不能互相推
3、可以通过可导即连续推出fx二阶导数在x=0处连续

很好很强大哈哈

x0点三阶导数存在，说明二阶导函数在x0连续，也就是说，二阶导函数在x0某邻域内有定义，应用到洛必达的定义中，就是f ''在x0去心邻域存在，故可以对f ' 使用洛必达。这就是你所说的出现二阶。但是x0点三阶导数存在，并不推出f '''在x0的去心邻域也存在，不满足洛必达法则，因此不能对f ''使用洛必达法则。所以不能出现三阶。简言之，就是使用洛必达法则后，出现f^(n)，首先要说明f^(n)在x0去心邻域有定义。应用到你的问题里，就是要出现三阶，首先要说明三阶导函数在去心邻域有定义（无法说明），要出现二阶，首先要说明二阶导函数在去心邻域有定义（这个可以通过在x0点三阶导数存在，反推二阶导函数在x0连续，进而二阶导函数在x0去心邻域有定义）。
好吧，打了这么多，其实也是帮助自己理解。。。

gyu1

zhang_14782 发表于 2014-6-9 17:11
不知我说的对不对哈~求高手指正~~~
1、洛必达的使用条件，要求在邻域内可导（因为洛必达用的时候是一个趋向 ...

谢谢，懂了哈

gyu1

很好很强大哈哈 发表于 2014-6-9 19:13
x0点三阶导数存在，说明二阶导函数在x0连续，也就是说，二阶导函数在x0某邻域内有定义，应用到洛必达的定义 ...

谢谢了，打了这么多字辛苦了

car666

不知为何在X0不可导，但可用洛比塔？