关于函数可积和原函数存在的问题

Mereol

1、想不明白为什么可积与原函数存在不是等价。
2、二李的数三全书146页上证明存在第一类间断点的函数原函数不存在，说是因为当x→c时，f(x)不等于f(c)。但如果等于的话不就说明f(x)连续了吗？那也就是说只要存在间断点就不存在原函数喽？可后面又说第二类间断点的函数可能存在原函数。到底怎么回事？
想了一下午没想明白，求大神们解答这两个问题，十分感谢！！！

i7014

可积和原函数存在是两个概念，不能混淆
可积说的是在区间I上的定积分存在
而原函数存在说的是在区间I上原函数存在
不要因为可以用牛顿莱布尼茨公式求定积分就把这两个概念混淆

第一类间断点一定不存在原函数可以用反证法，假设原函数存在，则原函数在区间I上必定可导，在间断点处左导数等于右导数，即函数是连续的，与有第一类间断点矛盾
存在第二类间断点是可能有原函数的，例如 f(x)=x^2*sin(1/x) x不等于0    =0  x等于0              
这个函数的导函数就是存在第二类间断点，但他存在原函数

Mereol

i7014 发表于 2013-6-6 19:07
可积和原函数存在是两个概念，不能混淆
可积说的是在区间I上的定积分存在
而原函数存在说的是在区间I上原函 ...

嗯，第二个问题明白了，反证法确实比全书上的要好理解

第一个问题，我也知道可积和原函数存在是不同的概念，但具体为什么不一样，想不明白。。。

i7014

你会混淆这个概念是因为你求解定积分的方法太固定了，求出原函数，代上下限，你理所当然的认为原函数存在与可积之间有某种联系
但是，定积分是什么，定积分是一个数，所表示的是以被积函数为顶的曲顶柱体的体积，原函数则说的是某函数在区间I上存在着一个函数，使得这个函数的导数为这个函数，这是截然不同的两码事

Mereol

i7014 发表于 2013-6-7 23:42
你会混淆这个概念是因为你求解定积分的方法太固定了，求出原函数，代上下限，你理所当然的认为原函数存在与 ...

好吧，我好像有点明白了。再自己琢磨琢磨……谢谢啦

ssqaaaaaaaaa

1、存在一类间断点函数可积，但不存在原函数
2、原函数可以有点间断，但只可能是震荡间断点

Mereol

ssqaaaaaaaaa 发表于 2013-6-10 01:05
1、存在一类间断点函数可积，但不存在原函数
2、原函数可以有点间断，但只可能是震荡间断点 ...

嗯，我已经想明白了，谢谢