请问为什么这个就是所求的似然函数？

kao_yan2009

这是2013年全书P614 例7.16 我不知道为什么划线处就是本题所要求的似然函数，这个不是T0时刻有k件元件失效的概率么？似然函数不是应该是概率密度的连乘么？求明白的朋友详细解释下。谢谢。

kao_yan2009

说明一下，第二张图片就是书上说的本题所要求的似然函数，我不明白为什么，请解释。

Out_of_Infinity

本题的似然函数就是“正好有k只器件失效的概率”关于参数λ的函数，最大似然估计就是确定λ的值，使得“正好有k只器件失效的概率”(似然函数)达到最大。
注意本题并没有给出样本X1,X2...Xn，所以不能用概率密度相乘去构造概率函数，也无法使用类似样本均值之类的统计量。但题目给出了失效器件个数k，就是叫你用k去表示λ。

ssqaaaaaaaaa

依题意，n属于Z+，也即总体属离散型
离散型似然函数为概率连乘
连续型似然函数为概率密度连乘
离散 连续 是惯穿整部概率论的两大主线:从基本概念，一维分布，多维分布，数字特征，数理统计，都是按离散 连续来分类讨论的。学习时要把握这一特点注意归纳

kao_yan2009

Out_of_Infinity 发表于 2012-7-26 18:44
本题的似然函数就是“正好有k只器件失效的概率”关于参数λ的函数，最大似然估计就是确定λ的值，使得“正 ...

那就是说对于连续型随机变量来说不能一概而论的都是通过将概率密度连乘而得到似然函数？如果是这样为什么全书和教材上都没有说明，都只是说了将概率密度连乘的方法。另外，不能连乘概率密度而是通过求概率而得到似然函数是在没有给出样本的时候就这样做么？谢谢。

kao_yan2009

ssqaaaaaaaaa 发表于 2012-7-26 18:59
依题意，n属于Z+，也即总体属离散型
离散型似然函数为概率连乘
连续型似然函数为概率密度连乘

我知道如果要是离散型的话就不是概率密度连乘，你说本题是因为是离散型，所以不能连乘概率密度函数得到似然函数。
但是楼上3楼的朋友解释的原因是它不是离散型的，是连续型的，只是因为别的原因所以不能通过连乘概率密度而得到似然函数。这使我有些不明白。

Out_of_Infinity

kao_yan2009 发表于 2012-7-26 20:28
那就是说对于连续型随机变量来说不能一概而论的都是通过将概率密度连乘而得到似然函数？如果是这样为什么 ...

不严谨地说，最大似然估计的意义就是已知分布类型但未知参数类型，并给出样本值(x1,x2...xn)，然后要确定参数令P{X1=x1∩X2=x2...∩Xn=xn}达到最大。因为X1，X2...Xn独立，所以P{X1=x1∩ X2=x2... ∩Xn=xn}=P{X1=x1}P{X2=x2}...P{Xn=xn}，这就是连乘的由来。。。当然题目不总是这样的，也许是指定另一个事件发生的概率达到最大，那么给出的样本值也不同，比如说这次给出的是k，就是叫你用k去估计参数。而一般情况下给出(x1,x2...xn)可能就是叫你用样本均值或者样本最值之类的去估计参数

ssqaaaaaaaaa

kao_yan2009 发表于 2012-7-26 20:32
我知道如果要是离散型的话就不是概率密度连乘，你说本题是因为是离散型，所以不能连乘概率密度函数得到似 ...

事件A为“直到T0时刻为止，有k件失败，n-k件未失败” ，所以事件A这是离散的
而在单个电子器件在某一时刻T0前就报废(不报废)，这一事件B(C)为连续的
题目似然估计要用事件A，所以只能拿A中个体事件（也即B or C）发生的概率连乘

kao_yan2009

Out_of_Infinity 发表于 2012-7-26 20:40
不严谨地说，最大似然估计的意义就是已知分布类型但未知参数类型，并给出样本值(x1,x2...xn)，然后要确定 ...

我明白你的意思了，但是。。。首先请不要介意我的愚钝，就着您的回答我还有个问题。“确定参数令P{X1=x1∩X2=x2...∩Xn=xn}达到最大。因为X1，X2...Xn独立，所以P{X1=x1∩ X2=x2... ∩Xn=xn}=P{X1=x1}P{X2=x2}...P{Xn=xn}，这就是连乘的由来。。。”这句话的前面部分我能明白，并且在书上也看到这么写了。但是这为什么就是连乘的原因呢？将概率P{X1=x1}P{X2=x2}...P{Xn=xn}连乘和将概率密度连乘有什么关系么？将概率密度连乘的结果与将概率连乘的结果一点关系都没有啊。我在看书的时候就有这个疑惑。但是后来就接着往下看了，现在由于我的这个帖子的问题，又把这个问题提出来了，这个问题似乎有点与我这个帖子的问题有些跑题了，但是因为笨，所以在问一个问题的时候总会牵扯出许多别的问题。谢谢。

kao_yan2009

ssqaaaaaaaaa 发表于 2012-7-26 18:59
依题意，n属于Z+，也即总体属离散型
离散型似然函数为概率连乘
连续型似然函数为概率密度连乘

首先，谢谢您的回答。按着您的解释，通过题目要求的所求，应该以离散型求解本题。您说离散型的似然函数是概率的连乘，这点我同意。但是这道题的答案中给出的似然函数L(λ)=.... 这个式子并不是概率的连乘啊，它是一个二项分布的概率的公式，表示的应该是到T0时刻是，n件元件中有k件损坏的概率，并不是概率的连乘。与您的回答不符。请解释，谢谢。