求助一道三重积分计算题，积分区域图形画不出怎么办？

tiger4102

∫∫∫xy dV，其中V是由曲面z=xy与平面x+y=1及z=0所围立体。

molinscut2012

z=xy变为标准的双曲函数即可，可设:
   x=ξ+ζ, y=ξ-ζ    则    z=ξ^2-ζ^2；
z=xy的图形可由此做出。

z=xy的图形是双曲抛物面
只要在曲面z=x^2-y^2的图形中将x轴和y轴水平顺时针旋转45°即可得到z=xy的图形：

Mengxuer

不用画图，分析图形特点即可。在直角坐标系下计算，用“先一后二”的积分顺序。把区域V先向xoy面投影，即是将围成V的任意两个边界曲面的交线投影到坐标面。z=0与z=xy的交线的投影是两条坐标轴，z=0、z=xy与x+y=1的交线的投影都是x+y=1，所以投影区域D由x+y=1与坐标轴围成。在D内任取一点，做z轴的平行线，与V的边界的交点分别在z=0与z=xy上，因为D在第一象限，xy≥0，所以对z积分的上限是xy，下限是0