保号性与导数的一个矛盾之处

11911778 · 发表于 2011-8-30 12:18

说，某函数f(x)在某点导数为正，但是不能保证在这点的某一邻域内其导数恒正，比如说可以举出反例，在X=0点导数大于0，但0以外的任意小邻域内导函数震荡的函数。现在若我们把导数按照定义写成极限形式另命名为函数g(x)，按照极限的保号性，函数在某点极限为正，则函数g(x)在此点的某邻域内也为正，这么说导数在此点的某邻域内也应为正咯？这不就矛盾了吗？

anpeididi · 发表于 2011-8-30 12:24

保号性这忘了，呵呵。。。楼主的头像挺吸引我的，，哈哈~~

aushiel · 发表于 2011-8-30 12:30

本帖最后由 aushiel 于 2011-8-30 12:35 编辑

对于导数我一直认为是在研究微元的情况，就是说那个振荡的空间不会超过半个周期，如果不超过半个周期的话，由x=0点的导数大于零，则其周围从0点向下振荡的话，也不会取到过0点的部分来作导数的保号性研究了

aushiel · 发表于 2011-8-30 12:36

我觉得楼主是把任意小给放大了来看的

gdgd · 发表于 2011-8-30 12:42

极限是导数的基础是现代数学最基本的东西三百多年了肯定不会错理解有偏差再想想

落叶下长安 · 发表于 2011-8-30 13:44

保号性是根据极限存在推断函数在某邻域内的符号，仅仅是极限存在，
不一定可导的

11911778 · 发表于 2011-8-30 18:10

落叶下长安发表于 2011-8-30 13:44
保号性是根据极限存在推断函数在某邻域内的符号，仅仅是极限存在，
不一定可导的
...

把导数的极限表达式f(x)-f(0)/x记为g(x),lim x->0 下的g(0)>0，就不能说明在0的某邻域内g(x)>0吗？这不就说明f'(x)在某邻域为正了吗？

ssqaaaaaaaaa · 发表于 2011-8-30 18:44

两点:
1、一点导数为正，其邻域震荡的函数存在吗?你的命题是建立在此猜想之上，你若不能证明这样的函数存在，由反证思想，我则可以反驳这样的函数不存在
导函数和普通函数性质不一样，我们不能用普通函数眼光来审视导函数。
2、邻域半径是可随意放大缩小的。导函数即使震荡也肯定存在一个最最开端的区域，使得导函数从f'(0)降落到x轴，我们把邻域半径取得比此区域还小，保号性就成立了。这当中也蕴藏着极限思想。注意，保号性是某一邻域成立，不是任意邻域成立

战地黄花 · 发表于 2011-8-30 21:07

本帖最后由战地黄花于 2011-8-30 21:08 编辑

这是很容易混淆的两个概念
（1）导数为正 ——（以x0为中心点）“增量商”的极限为正 ——在x0的某邻域内，“增量商”恒正。……
这与函数在别的点可导否无关。
（2）导数是逐点定义的。点点可导，才能说邻域内可导。
（3）不同的中心点，增量商不同。
增量商也不等同于导数。
（4）数学推理是强逻辑推理，能推出什么就是什么。

11911778 · 发表于 2011-8-30 22:08

本帖最后由 11911778 于 2011-8-30 22:11 编辑

ssqaaaaaaaaa 发表于 2011-8-30 18:44
两点:
1、一点导数为正，其邻域震荡的函数存在吗?你的命题是建立在此猜想之上，你若不能证明这样的函数存在 ...

f(x)=x^3*sin(1/x^2)，您看看它的导函数是不是震荡的，这种震荡是在任意小的区间内，管你取多小都有的

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保号性与导数的一个矛盾之处

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