关于曲面积分的问题

assistfoot

曲面积分这块，用高斯公式求那个曲面积分时，是加上一个曲面是其闭合，然后用高斯公式。可是明明是Σ + Σ1的积分减去Σ 1的积分，可是很多时候却变成了Σ + Σ1的积分加上Σ 1的积分了，这是怎么回事呢？
有知道的麻烦告诉一下呗，谢谢了   我就是求曲面积分这块最头痛，不咋会   

heifei

Σ + Σ1的时候应该是所“围”成区域的外侧，如果取内侧就多个负号了

assistfoot

heifei 发表于 2010-12-8 22:04
Σ + Σ1的时候应该是所“围”成区域的外侧，如果取内侧就多个负号了

恩，Σ + Σ1取外侧的时候是正，但是我看好多题在对Σ + Σ1积分后再减去对Σ1的积分，可是到第二部就变成加上对Σ1的积分了。如高等数学同步辅导及习题全解-同济第六版-上下册合订本中，高斯公式那部分，也就是第745页例3中，第一步是加Σ1的积分，第二部就变为减了，这是为什么啊？？我一直看不明白
那对Σ1取哪侧有什么规定吗？

duck52036

那是因为  Σ1的方向又变了 所以要加个负号
也就是说应该是Σ + Σ1 (取的是外侧)减去Σ1(也是外侧)吧，现在变成加了，那肯定是Σ1取的内侧了

gorillaz128

如果你的Σ1的法矢量与所投影面的成锐角，就是+ ，如果是钝角，就是— ，你可以这样理解，因为3重积分是算的 “质量”所有都是正的，很多书籍上都是把这个所要加上的区域的积分直接取符号的。 你可以发现他与上一步的符号没有任何逻辑关系。

huangwei858

以前在曲面积分这块，我也是拿不定，现在我解决了。交流一下。
曲面积分计算的时候有两种方法
1，用多元函数投影的方法的，即利用已知的函数方程在某一个平面进行投影，让后计算出来，具体的可以参照李永乐大全上面的。
2。利用高斯公式。运用高斯公式有个条件，就是图形必须是封闭的。如果不封闭，就要找平面进行组合加以封闭。
至于你上面提到的加还是减的话，我有个心得就是，加一个平面致使其封闭的话，I=I1-I2。其中，I1为三重积分，I2为所加平面。注意这里一定要写成“-”号，先不管符号。
我自己总结的三重积分的所有情况，交流一下。对于I1而言，一般的话就只有两种情况，1，方向向量在外面，即外侧。2。方向向量向内，即内侧。记住一个特点，就当作是口头禅吧。“外正内负”即I1中的符号：外侧是取正好，内测取符号。
  对于I2，情况就有点多，记住一个特点，如果加的平面的方向向量向着箭头所指方向的话，就是正号，反之就是负号。这个也有个口头禅：“上正下负，左负右正，前正后负”。这个口头禅不好记，我都是记箭头方向的。这样比较准确。
对于怎样加平面，就要具体看题目了。一定要记住一直要加到可以构成封闭图形。而至于对I2怎样进行计算，则可以参考大全。
其实在这块有几个难点：
1.怎样加平面使之构成封闭。
2.所加平面后，三重积分和所加平面怎样加符号。
3.怎样处理所加平面（一般采用投影法）。
4.计算问题。
我的心得是，计算此类问题，写出公式后，千万不要放到一起算。经过对比，这样做到话，错的概率是很大的。可以像我前说的那样，分开来算。即I1和I2分开来算。算完后，千万要记得加上符号。
希望对你有用。

assistfoot

谢谢大家的解答，我现在有点眉目了，曲面积分一直是我头疼的问题，现在终于解决了，谢谢大家