矩阵可逆的证明

glaciya

一个矩阵有：A^2=A,A=E-ab(b为a转置矩阵)，如果ba=1,证明A不可逆。
我想知道ba=1，可不可以这么做：
ba=1，然后|ba|=|1|=|a||b|=|ab|,由A^2=A可化为Aab=0,由于|ab|不等于0，则ab方阵可逆，r(ab)=n,Aab=0,r(A)+r(ab)小于等于n,则r(A)=0,所以A不可逆。
请高手帮助，谢谢。

dingxiaosong

应该不可以。比如ba=1，b为行向量，a为列向量，则楼主的推导中|a|和|b|根本就不存在。

linuxping

A=E-ab ====>  Aa=(E-ab)a  ====>Aa=Ea-aba=a-a=0
a不等于0向量 ,(否则ba不等于1)
这就是说方程Ax=0有非0解, 故|A|=0, 所以A不可逆

条件A^2=A没有什么用

考考哥

由ba=1得，a为列向量，设为（a1，a2、、、an） 且ai不全为0，所以ab是对称实矩阵，且不是空集
所以存在P^-1（ab）P=/\ , 另A=E-ab 两端乘以P^-1,P 得/\=E-/\(前一个/\是A对应的对角阵，后一个是ab的)
由A^2=A得，A的特征值只能是0或者1，由此可知ab对应的/\对角线上的特征值不是0就是1 由于ab不是空集所以必然有
一个是1，所以对应的E-/\中必然有一行是0，由此可得A的特征值用有一个是0，即IAI=0,所以A不可逆

008261

二三楼兄弟实乃亮点,小弟非常佩服!如楼主疑问,楼主有个概念没弄明白,即|ab|=|a||b|的前题条件是ab均为n阶方阵,而题目中很明显得出a乃n维向量!欢迎指教!

amaogg

A^2=A→A(A-E)=O→|A||A-E|=O→|AT||AT-E|=O
A=E-ab→AT-E=-ba→|AT-E|=-1≠0→|AT|=0→|A|=0 故A不可逆。。没错吧。。。

glaciya

真是高手辈出，明白了，谢谢啊。还有几点我总结的，希望与大家分享，不对的还要各位多多指教。
      矩阵的乘法，这个得出的数值是个特例。
1）矩阵乘法运算与行列式运算法则根本两回事。
2）矩阵要想化为行列式运算，必须为方阵，等号两端都为方矩时（得数值除外），才可在两端加“行列式”变形符号。

glaciya

ba=1根本不是行列式运算得出的。

impro

二楼的解法精辟
    至于二楼说A^2=A这个条件没什么用，说明二楼对幂等矩阵了解不够深刻


本题中由A^2=A知A为幂等矩阵，所以其特征根只能是0或1（因为最小多项式是λ^2-λ）,显然根不可能全部为1，因为此时A只能是单位矩阵E（因为幂等矩阵的充要条件是：r(A)+r(A-E)=n,根全为1时A可逆，r(A)=n，必有A=E），与题目条件A=E-ab矛盾，即A的特征根必有0，so A是降秩阵。

008261

九楼大侠你可是数学专业?幂距阵这玩意咋没听说过