有关A* ,A ，A的逆特征向量关系问题浅析待高人写完整

gensun

有关A* ,A ，A的逆特征向量关系问题浅析 以下结论是否正确

1。若X是矩阵A的特征向量，则X一定也是A*的特征向量。（请教高人！！！）
2。若X是A*的特征向量，则X一定也是矩阵A的特征向量。
3。矩阵A可逆，若X是矩阵A的逆矩阵的特征向量，则X一定也是A的特征向量。
4。矩阵A可逆，若X是矩阵A的特征向量，则X一定也是A的逆矩阵的特征向量

The following is Gensun's opinion:


1: almost yes,i am not sure .

A可逆时，结论显然成立。

A不可逆时

当 r(A)=<n-2 时

A* =0 结论也成立,见第二问解答

当r(A)=n-1时。

此时r(A*)=1.

设X为A任意特征向量

AX=bX

当b!=0 时。

A*AX=bA*X;

|A|X=bA*X  

A*X=0X  此时，X 为A*特征值0对应的特征向量

当b=0 时。

AX=0X  即X为 AX=0的解。  

此时 r(A)=n-1 r(A*)=1

这种情况的讨论is beyond me .wait for guru !

关于A 三阶以内本人上未找到反例，直觉上  A 的特征值只是A*的特征值的一个子集。

2

no
set A is   
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
显然  A* =0 只有 0特征值，特征向量为任意5维非零向量

而A的特征向量没那么多。自己就算下。



3 yes



AX=bX    |A|!=0 so  b!=0

left * A^-1

X=bA^-1X

A^-1X=1/bX



4 yes

ps:3 and 4 ,in effect are the same question.

maz_i

无论A是否可逆 A乘A* =|A|E 都成立，只是当|A|=0的时候 没法对A求逆。反复应用这个公式就可以验证楼主的四条命题了。

gensun

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