施密特正交化是怎么回事？

kangshifu1988

在明确“实对称矩阵”可以相似对角化后，我们求得的特征值所对应的“特征向量”拼起来矩阵P已经满足将A与对角矩阵相似了，此时是要找到一个正交矩阵T，为此把P人为进行施密特正交化，构造出正交矩阵，那么此时的P是被改变了吗？空间内是怎样的变化？还能保证改造出来的矩阵T仍是可以让A与原来的那个对角阵相似吗？

zhould

施密特正交化其实只是对那些有重根的特征值的特征向量正交化的一种方法。如果一个实对称矩阵的特征值都不同，那么他的特征值肯定正交了，此时不用施密特正交化。当一个矩阵求出有重的特征值时，就要先验证它的这个特征值的线性无关的特征向量是不是正交，如果不正交，此时才需要施密特正交化，否则不必。具体的施密特正交化过程线代书上都有，不赘述

zhould

施密特正交化重要的一步是单位化，正交化后的P当然变化了，因为如果不正交化P就不一定是正交矩阵，正交化后是正交阵，由于正交阵的转置就是逆，可以保证相似，而且还可以省去矩阵求你的繁琐过程，只需求转置就行了

glaciya

大哥拜托，你只是要正交矩阵，想那么多干嘛？得有正交和单位化两种并存，求出重根后先观察，这几个跟是否线性无关，再看是否正交（俩俩正交），正交后在放眼整体向量们，将他们单位化，就是你想要的正交矩阵。