关于A 和A*的特征值、特征向量问题

pandora2008 · 发表于 2010-8-1 12:26

李永乐数3 P371 选择题第四题
设a是A的属于特征值k（不会拼浪打）的特征向量，则a不一定是其特征向量的矩阵是：
答案选了C: A的转置而没有选D：A*

如果A可逆的的话，我想我很理解。因为A*=（A的行列式）乘A的逆，说白了，A*是A的多项式，相应的，A*的特征值也是A的特征值的多项式，并且有共同的特征多项式。因为拼写不太会，所以不在这证明了。
但是，如果A不可逆呢，怎么能证明这道题？

零度一夏 · 发表于 2010-8-1 16:47

呵呵、、正好在看线代。。。
Aa=ka，这个式子左右同乘以A*，则A*Aa=A*ka，又A*A=AA*=|A|E，|A|Ea=kA*a，所以A*a=(|A|/k)a

pandora2008 · 发表于 2010-8-1 16:51

lz谢谢啦啊！简直有如一阵春风温暖我心啊，呵呵：）

scl1989 · 发表于 2010-8-1 17:12

楼上的不太对吧，我想了半天，还是觉得没有完全因为不可逆时|A|=0，同时可能出现k=0的情况，这种情况好像没有解决。不知楼主发现了没有，等待高手解决……

scl1989 · 发表于 2010-8-1 17:12

楼上的不太对吧，我想了半天，还是觉得没有完全因为不可逆时|A|=0，同时可能出现k=0的情况，这种情况好像没有解决。不知楼主发现了没有，等待高手解决……

pandora2008 · 发表于 2010-8-1 17:58

原帖由 scl1989 于 2010-8-1 17:12 发表
楼上的不太对吧，我想了半天，还是觉得没有完全因为不可逆时|A|=0，同时可能出现k=0的情况，这种情况好像没有解决。不知楼主发现了没有，等待高手解决…… ...

奥，你说的也对。

当A不可逆时，0为特征值。那么k便不能放在分母上，恩，是个问题

yaoyaminaco · 发表于 2010-8-1 19:06

A*A=|A|E,这个是任何矩阵都成立的,不需要可逆.所以a是A*关于|A|/k 的特征向量.
若k=0的话|A|=0,A*A=|A|E=0,我想也必定是成立的.

关于转置我是这么想的:
若k是特征值,且k=0的话,那么对应的特征向量就是Ax=0的基础解系,楼主,我可以这样设想一下,如果不是实对称阵的话,转置之后是不是就相当于行+列变?这是不是在求基础解系中是不允许的?也就是说转置之后,所求出的特征向量和a不同呢?

[ 本帖最后由 yaoyaminaco 于 2010-8-1 19:22 编辑 ]

scl1989 · 发表于 2010-8-1 19:14

楼上还是没解决k的取值问题

anikkwan · 发表于 2010-8-1 19:57

我马上要看完线数了~

零度一夏 · 发表于 2010-8-2 00:16

原帖由 scl1989 于 2010-8-1 17:12 发表
楼上的不太对吧，我想了半天，还是觉得没有完全因为不可逆时|A|=0，同时可能出现k=0的情况，这种情况好像没有解决。不知楼主发现了没有，等待高手解决…… ...

嗯。。对。。是的嘞。。等高手解决。。咱也再想想。。。

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关于A 和A*的特征值、特征向量问题

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