关于曲面积分的符号问题

woshicpy · 发表于 2010-5-27 23:51

各位战友，不知道大家想清楚没
对于第二类曲面积分的转换
一：李永乐的书上有写如图中①.举例来说dydz转换到dxdy需要再乘以-z对x的偏倒。
那对于dydz转换到dxdz的情况呢，有没有什么固定的公式呢？
二：我用ds开始一步一步推导，得出dydz和dxdz转换到dxdy除了加偏倒还应该前面应该加-号，但是dydz到dxdz不应该有负号丫？（推导是用的cosa,cosB，cosy，来推导的）
但是如图②所示（红色部分）为什么从dxdz到dydz，偏倒前面加了-号啊？

wh404742016 · 发表于 2010-5-28 08:45

我也觉得不该加负号不清楚题看看与方向有没有关系

liwenhaopk · 发表于 2010-5-28 10:54

由z=z(x,y)给出的曲面法向量的方向余弦
cosa=-zx/跟号下(1+zx^2+zy^2) cosb=-zy/跟号下(1+zx^2+zy^2) cosr=1/跟号下(1+zx^2+zy^2)
由x=x(y,z)给出的曲面法向量的方向余弦
cosa=1/跟号下(1+xy^2+xz^2) cosb=-xy/跟号下(1+xy^2+xz^2) cosr=-xz/跟号下(1+xy^2+xz^2)
由y=y(x,z))给出的曲面法向量的方向余弦
cosa=-yx/跟号下(1+yx^2+yz^2) cosb=1/跟号下(1+yx^2+yz^2) cosr=-yz/跟号下(1+yx^2+yz^2)
这三组都是通过多元函数微分学的几何应用一节二,曲面的切平面与法线里的内容推导出的
三组其实等价

liwenhaopk · 发表于 2010-5-28 12:36

还有偏导数的记号是一个整体,不能看做微商.你的推导可能是这里有错误.

箫枫 · 发表于 2010-5-28 14:29

dydz、dzdx、dxdy的转化不要去死记公式，注意公式转化的条件。

等式1考虑的是曲面∑的侧是上侧或者下侧时，上侧时，前面取正号，下侧时，前面取负号：曲面∑的方程是z=z(x,y)，取其上侧时，法向量与z轴方向的夹角是锐角，所以法向量是(-αz/αx，-αz/αy，1)。所以，dydz=cosα/cosγ dxdy=-αz/αx dxdy，dzdx=cosβ/cosγ dxdy=-αz/αy dxdy. 当然这时候也可以得到dydz=cosα/cosβ dzdx。如果是下侧时，推导类似.

等式2中的曲面∑关于x轴对称，把x轴作为竖轴画图。其侧是外侧，从x轴的角度来说就是上侧了，现在曲面的方程是x=x(y,z)，上侧的法向量是(1，-αx/αy，-αx/αz)，所以dzdx=-αx/αy dydz
（个人觉得外侧的法向量与x轴正向成锐角，与y、z轴正向成钝角，这个图形与旋转抛物面x=y^2+z^2的性质是类似的）

woshicpy · 发表于 2010-5-29 07:24

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