有关定积分求旋转体体积~课本上没有的部分

alexking1987

想必大家课本看完了,复习指南也做一半了
问一下定积分求旋转体体积(微元法),课本上大概有两种方法(当然是最基本的)
一是已知关于x的方程曲线,x=a,x=b,及x轴所围成的曲边梯形,绕x轴旋转一周的体积
二是已知关于y的方程曲线,y=c,y=d,及y轴所围成的曲边梯形,绕y轴旋转一周的体积(第五版上册课本的273-274页)
但是复习指南上又给出了
已知关于x的方程曲线,x=a,x=b,及x轴所围成的曲边梯形,绕y轴旋转一周的体积(请看清这几个xy)
V=2pi∫(b,a) x f(x)dx
这个体积元素是2pi xf(x)dx,请问是如何得出的啊?

GIS实验室

按环柱体计算出来的~

bianfupolestar

关键就是求底面的面积，高f(x)知道
在任意x处取微元dx，则2*pi*x为半径为x的圆周的周长，把所取微元看做矩形小薄片，周长就相当于矩形的底边长，dx相当于矩形的高，因此2*pi*x*dx就是所取微元的面积，再乘上高f(x)就相当于以微元dx为底，以f(x)为高，以y轴为轴心的圆筒！把圆筒从a积到b就是所求旋转体体积了