【请教】递归数列求极限的第二种方法的疑问

natuki

李永乐数一全书P11例1。18

由于题目中数列Xn不单调，故采用先假设Xn极限为a的方法，
由递归方程求极限解出a=sqr(2)+1>2（由X范围舍去a小于2的一根）
之后例题使用了递归方程的极限形式a=2+1/a，以及a在Xn取值范围内故大于等于2，对|X(n+1)-a|进行变形，缩放，最后得到不等式|X(n+1)-a| < 1/4 × |X(n+1)-a|。
最后由上式不等式作出判断：Xn极限存在，且极限等于a=sqr(2)+1。

我的疑问是，既然之前是假设的极限存在为a，那么之后在推不等式的时候为什么能使用假设推出的结论a=2+1/a呢？

我的理解是前面的假设一直到求出a的值，都是为了得到一个独立的数。
然后这个数“凑”出了不等式，实际上证明极限存在全靠不等式的求解部分，如果我很厉害，也可以上来就猜个sqr(2)+1，
然后代入不等式说成立……

这种方法总感觉很别扭，尤其是在推结论的不等式时候用到前面由假设推出的东西的时候……
大家的感觉呢？

nuaaxiajun

李正元强化视频对第二种方法有全面的解释