请教2道矩阵证明题....

chen84131 · 发表于 2008-8-23 21:58

1.A是n阶方阵,A的平方等于A,A不等于E,证明A不可逆.
2.A是n阶方阵,非零矩阵B使得AB=0，证明|A|=0。

qxl0307 · 发表于 2008-8-23 22:16

两个题目都是一种类型的，用反证法就行
例如1
假设A可逆，则等式“A的平方等于A”,左右两边同乘以A的逆，可得A=E，这与已知A不等于E矛盾，所以命题得证！

yanpengyuan · 发表于 2008-8-23 23:07

再给你提供一种证法，第二题，用秩

因为AB=0，且A是n阶的，
所以r（A）+r（B）<=n；
又B不等于0，所以r（B）>=1，
所以r（A）<=n-1<n,
所以|A|=0

yuqin119 · 发表于 2008-8-23 23:16

第2题还可以用齐次方程组非零解条件将b分块显然有非零解故A的行列式要为0

yuqin119 · 发表于 2008-8-23 23:17

第一题同理也可以使用齐次解条件。

土纸 · 发表于 2008-8-24 10:14

感谢各位

mervyn520 · 发表于 2008-8-24 18:29

齐次方程好

[ 本帖最后由 mervyn520 于 2008-8-24 18:33 编辑 ]

liruini · 发表于 2008-8-25 17:50

很多书上都有这个题哦

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