设A，B是正定矩阵，证明AB是正定矩阵的充要条件是A与B可交换

yiana1002

“设A，B是正定矩阵，证明AB是正定矩阵的充要条件是A与B可交换”
估计复习线代的研友们都碰到过这个推理，可是我老想不出

yiana1002

求高手指教，如何证明呢

wllkaoyan123

想不出来

yiana1002

A,B是正定矩阵，证明AB是正定矩阵的充分必要条件是A与B可交换
必要性：
A,B,AB都是正定矩阵, 那么(根据定义)A,B,AB一定是实对称矩阵,
所以有 AB=(AB)'=B'A'=BA
因而A与B是可交换的;

充分性：
A,B正定，那么(根据定义)A和B是对称矩阵，A'=A,B'=B
因为AB=BA，那么(AB)'=B'A'=BA=AB，这就说明AB也是对称矩阵。
由于A与B正定，所以存在可逆矩阵P和Q满足 A=P'P，B=Q'Q
所以QAB(Q^(-1))=Q(P'P)(Q'Q)(Q^(-1))=QP'PQ'=(PQ')'PQ
这说明对称矩阵AB相似于正定矩阵(PQ')'PQ
所以AB也是正定矩阵

yinbing252

领教了 很好 长见识 以前好像见过陈文灯这样证明[em:18]